Кинетика биологических процессов - Рубин А.Б.
Скачать (прямая ссылка):
(II.3—4)
(I) ?Ui----------?/?,’ m
°”t l°“ IL3'51 e;c'z - ~~e!el It)
a 24
На этой схеме стрелками указаны разрешенные переходы комплекса из одного состояния в другое. Рядом со стрелками указаны
• параметры распределения соответствующих времен переходов, которые В терминах химической кинетики суть (псевдо) мономоле-кулярные константы скоростей рассматриваемых реакций.
Согласно этой схеме комплекс из первого состояния, в котором оба фермента свободны (Ё^Е^), может перейти в третье состояние (Е[Е%), в котором первый фермент заият, а второй свободен, с плотностью вероятности перехода 013; из второго состояния комплекс может перейти в первое и четвертое состояния соответственно с плотностями вероятностей перехода а21 и а.ц и т. д.
Для того чтобы определить эволюцию состояний нашей системы, необходимо зиать, с какой вероятностью Pi(t) комплекс окажется в г-том состоянии в некоторый фиксированный момент времени t. Для вывода уравнений, описывающих поведение переменг ных Pi(t), рассмотрим, например, какова вероятность того, что & момент времени t+At комплекс находится в первом состоянии. Это событие может наблюдаться при следующих условиях:
1) в предшествующий момент времени t комплекс уже находился в первом состоянии и за время At не вышел из него;
2) в предшествующий момент времени t комплекс оказался во втором состоянии, а затем за время At перешел из второго состояния в первое;
3) в предшествующий момент времени t комплекс был в третьем состоянии, из которого за время Д^ перешел в первое состояние;
4) в предшествующий момент времени t комплекс был в состоянии (4), из которого за время Д* перешел в первое состояние.
Таким образом, событие, состоящее в том, что комплекс находится в момент времени f + Д* в первом состоянии (?<+д<= 1), можно представить как сумму несовместимых событий:
(Ь+д*=1) = (Ь=1, Ь+д*=1)+.........(Ь = 4, Ь+д/=1). (II.3—5а>
Или в силу аддитивного свойства вероятности:
Р(Ь+Д,= 1)= ?/>(& = *, Ь+д*=1). (II.3—6)
?=1
Входящую в это равенство вероятность P(?*=i, = 1) того, что
комплекс находится в момент времени t+At в состоянии 1 при ус-
ловии, что в предыдущий момент он находился в состоянии е, можно представить через переходную вероятность:
P(h = i, b+&t = V = Pi(f)Pn№. '(II.3-7)
В свою очередь для переходной вероятности Pn(At) справедливы соотношения:
4
Рц (At) = . 1 — (Y Uik) М + 0 ¦еСЛИ 1 = 1 ’ (II.3—8)
a(1At + 0(At), если гф\.
С учетом последнего соотношения равенство (II.3—6) можно переписать в виде
4
Рх (t + At) = ? Pt (t) a^At + Pb(t) [ 1 — (a12 + a13 + аи) Д/] + О (Д/)
i=2
Перенося Pi(t) в левую сторону равенства, деля обе части соотношения на At и переходя к пределу Af->0, получим, учитывая, что на схеме (II.3—1) ненулевыми являются лишь ац и 013,
= ^2^21— Piai3-
dt
Аналогичным путем могут быть получены и уравнения для вероятностей остальных состояний:
dp$/dt = Р Зя32—Р 2 (й-21 “Ь
dPjdt = Pidl3 + P/fiis PsP-si >
dPJdt = P 2O24 PqPi 3-
Легко видеть, что между схемой (II.3—1) и полученной системой дифференциальных уравнений существует тесная связь, благодаря которой, исходя из соответствующего графа, можно сразу выписывать дифференциальные уравнения Колмогорова для вероятностей состояний. Правило написания дифференциальных уравнений можно сформулировать следующим образом: в правой части уравнения для /г-того состояния со знаком плюс стоит столько членов, сколько на графе стрелок ведет в данное состояние, а со знаком минус стоит столько членов, сколько стрелок исходит из данного состояния. Каждый член в правой части уравнения независимо от знака имеет вид произведения вероятности того состояния, откуда идет стрелка, на величину соответствующей плотности переходной вероятности.
Важно подчеркнуть, что дифференциальные уравнения, описывающие вероятностное поведение полиферментного комплекса, являются линейными относительно своих' динамических переменных — вероятностей застать комплекс в том или ином состоянии в данный момент времени. Линейность вероятностных уравнений
для состояний комплекса сохраняется и при наличии у полифер-ментной системы кооперативных регуляторных свойств. В этом случае увеличивается лишь число дифференциальных уравнений системы в соответствии с увеличением общего числа состояний комплекса.
Число возможных состояний надмолекулярной системы растет весьма быстро — с увеличением числа входящих в ее состав ферментов, а также с увеличением количества различных состояний каждого компонента в отдельности. Так, если полиферментная система включает п компонентов, каждый из которых может находиться в двух состояниях (например, в окисленном и восстановленном), число различных состояний комплекса равно 2п. Если учесть, что каждый фермент обладает к тому же двумя альтернативными конформациями (активной и пассивной), число состоя1-ний комплекса становится равным 4". Например, полное математическое описание цепочки из трех взаимодействующих реакций, в ходе которых каждый фермент принимает четыре различные формы, включает 43 = 64 дифференциальных уравнения.
