Кинетика биологических процессов - Рубин А.Б.
Скачать (прямая ссылка):
Если двухсубстратная реакция обратима, расчет квазистацио-нарной скорости реакции представляет собой гораздо более трудоемкую Задачу. Для решения таких задач в последние годы стали широко применять методы теории графов. Подробное описание метода выходит за рамки нашего изложения, необходимую информацию читатель может найти в соответствующей литературе (King, Altman, 1956; Темкин, 1963, 1965; Волькенштейн, 1966,
1975; Иваницкий и др., 1978), а также в гл. III настоящего пособия.
В монографии (Иваницкий и др., 1978) приведен граф, с по-, мощью которого получено уравнение стационарной кинетики обратимой двухсубстратной ферментативной реакции, протекающей по схеме
Si + S2^S3 + S4.
Этими же авторами рассчитана скорость необратимо^ двухсуб-стратной реакции с субстратным угнетением.
Стационарные состояния открытой необратимой ферментативной реакции с субстратным угнетением, и необратимым притоком субстрата
Рассмотрим открытую ферментативную систему с субстратным угнетением и постоянной скоростью «источника», т. е. с, постоянной скоростью притока субстрата в сферу реакции
Запишем последнюю схему более подробно в виде, удобном для составления математической модели:
*+1 *+а *+з
S0 -> S; S + E31SE-+ Е + Р-,
.
(И. 1—24)
S? + S;?S2?; P-v.
Обратную реакцию Е + Р-*-ЕР не учитываем, так как во многих случаях она протекает с весьма низкой скоростью.
Запишем соответствующую (II. 1—24) систему кинетических уравнений:
— = k+1S0 —k+sSE + k—2 [SE\ —k+i [SE)S + k—4 [Sa?]; dt
-1^ = k+2SE~ k—2 [ES] —k+a [?S] —k+i[ES] S+k-i [S2?]; dt
= —k+2SE + k—2 [S?] + k+3 [S?];
dt
= *+4 [SE] S[S2?];
at
Учитывая условие сохранения числа свободных и связанных в комплексы молекул фермента
E+[ES]+.[S»E]=e0 и переходя к безразмерным переменным
_ S ___________р_ш
<’“ Кт' Р~ Кт’
^0 ^0 *+2 получим окончательно т = k+^0t/Km,
— = ------------aje+ i-j.
dT ^+s Л+s ^+s fc+s
(II.l —25)
_e,—^ = ААа(!_х )_x_ + tj.
dt fe+3 fc+3 fc+3
e0 dy j. iSn ft j
—— -r^- = —ая-----------— у.
Km dX k+3 k t ;j
Введем следующие обозначения безразмерных кинетических параметров системы (II.1—25):
*+iS« . „_ ^+2^0 . h- k+iRo .
К&о k ’ Кг ’
K+3
_ fc-2 , ¦ d---k~*- eo
К»' k ' Km ‘
K+S
Величина E = ~zr— является малым параметром. Действи-Кт
тельно, крнцентрация фермента всегда на несколько порядков ниже концентрации субстрата, которая в свою очередь обычно бывает одного порядка с величиной /Ст~Ю'2 моль/л, так что е~ 10-3-т-10-5. Согласно теореме Тихонова, наличие малого параметра е перед соответствующими производными означает, что концентрации фермент-субстратного комплекса [S?] и неактивного комплекса [S2?] будут быстрыми переменными. Следует отметить, что «быстрота» этих переменных опять-таки обеспечивается существенным различием концентрации реагентов — субстрата и фермента, но не расхождением кинетических констант рассматриваемых реакций.
Используя введенные выше обозначения, систему (II.1—25) можно записать в каноническом виде'
= а—аст(1 —х—у)—box—cx + dy, (II. I-*— 26)
e = аа (1 —х —у) —box —х + dy ==Х,
dx
(II. 1 —26а)
е = box —dy^Y. dx а
(II. 1—266)
В соответствии с терминологией Тихонова будем рассматривать первое уравнение системы (II. 1—26) как вырожденное, а два последних — как присоединенную систему. Нетрудно убедиться, что особая точка присоединенной системы устойчива и, следовательно, условия применимости теоремы Тихонова выполнены.
Заметим, что уравнения (II.1—26 о, б) линейны по х и у (а при этом считаем параметром). Характеристические показатели этой системы определяются уравнением
Согласно этому уравнению знак действительной части и, следовательно, характер устойчивости особых точек присоединенной системы зависят от того, каков знак величины В. А именно, особая точка устойчива, если В<0. Легко видеть, что в нашем случае величина
отрицательна при любых значениях параметров a, b, d и а, так как последние по определению всегда положительны.
Итак, особая то»1ка присоединенной системы устойчива при всех значениях параметров, и, следовательно, условия применимости теоремй Тихонова выполнены. Это означает, что присоединенную систему дифференциальных уравнений можно заменить алгебраическими соотношениями:
Выразим из первого уравнения переменную у через от и х, а затем из второго — х через о:
