Кинетика биологических процессов - Рубин А.Б.
Скачать (прямая ссылка):
X=x + l, У = У + Ц. (1.4—3)
Подставив эти выражения в (1.4—1), получим:
¦ ¦?-+1г='Р(‘+|' *+ч>-
+ = + (1-4-4)
at at
-^-—-^-—0, так как х, у—координаты особой-точки. Предполагая
наличие и непрерывность производных порядка не ниже первого у функции Р и Q, мы можем разложить правые части полученных уравнений в ряд Тейлора по переменным ? й т). Окончательно, переходя от переменных х, у к переменным | и т) в уравнениях (1.4—1), получим:
dt
dr)
~dt
^ =P(x, У) + а1 + Ьц + [pnl2 + 2p12ln -f jo22r)2 +
где
= Q (x, y) + cl + di] + {qu&+ 2qi&\ + q„x[2 (1.4 — 5)
a=Px(x, y), b = Py(x, y),
c =Qx(x, y), d = Qy(x, y).
P{x, y) = 0, Q(x, ~y) = 0
по определению особой точки (x, у).
Обоснованный Ляпуновым метод исследования устойчивости сводится к следующему. Отбросим в уравнениях (1.4—5) нелинейные члены. Мы получим тогда систему линейных уравнений с постоянными коэффициентами, так называемую систему уравнений первого приближения:
JL = ai + b4, ^L = d + dn. . (1.4-6)
at at
Решение этой системы запишется сразу, если нам известны корни характеристического уравнения:
а—А, b
с d—X
= 0. (1.4—7)
Ляпунов показал, что в случае, если оба корня этого уравнения имеют отличные от нуля действительные части, исследование уравнений первого приближейия, полученных путем отбрасывания нелинейных членов, всегда дает правильный ответ на вопрос
об устойчивости состояния равновесия в системе (1.4—1). Именно если оба корня имеют отрицательную действительную часть и следовательно, все решения уравнений первого приближения (1.4—6) затухают, то состояние равновесия будет устойчивым; если же хотя бы один корень имеет положительную действительную часть, т. е. если система (1.4—6) имеет нарастающие решения, то состояние равновесия неустойчиво. Если действительные части обоих корней характеристического уравнения равны нулю или если один корень равен нулю, а другой отрицателен, то уравнения (1.4—6) не дают ответа на вопрос об устойчивости состояния равновесия.
В этом случае, когда оба корня характеристического уравнения имеют отличные от нуля действительные части, уравнения первого приближения определяют не только, устойчивость состояния равновесия, но и характер фазовых траекторий в достаточно малой его окрестности. Состояния равновесия (особые точки), для которых действительные части обоих корней характеристического уравнения отличны от нуля, являются «грубыми». Харак-
тер фазовых траекторий в их достаточно малой окрестности сохраняется при любых достаточно малых изменениях правых частей уравнений (1.4—1) — функций Р(х, у) и Q(x, у), если достаточно малыми являются также и изменения их производных первого порядка.
Таким образом, совершенно так же, как и в случае линейных уравнений вида (1.4—6), мы имеем здесь пять типов
грубых состояний равновесия: устойчивый узел, неустойчивый
узел, устойчивый фокус, неустойчивый фокус и седло. Для исследования грубых состояний равновесия удобно пользоваться диаграммой (см. рис. 1.19), приведенной в предыдущей главе. В нашем случае
0=[Р'х(х, у) + Qy (х, у)\,
Рис. 1.21. Особая точка типа седло-узел
Д =
Рх{Х, у) Q* (х, у) К(х, y)Qy(x, у)
(1.4-8)
Грубым состояниям равновесия соответствуют все точки плоскости параметров а, А, лежащие вне оси Л = 0 и полуоси а=0, А > 0.
Точкам оси А = 0 и полуоси а=0, А>0 соответствуют негрубые состояния равновесия (негрубые особые точки). Это такие состояния равновесия, свойства которых могут быть изменены сколь угодно малыми изменениями правых частей уравнений .(1.4-1) за счет сколь угодно малых изменений функций Р(х, у) и Q(x, у) и их производных. Именно поэтому их характер (и в частности, устойчивость) не определяется уже только значениями постоянных коэффициентов в правых частях уравнений первого приближения типа (1.4—6). Иными словами, в отличие от линейных систем (в 1.4—1) уже при небольшом изменении в правых частях содержащихся там нелинейных членов может произойти качественное изменение фазового портрета системы. Точкам полуоси а=0, А>0 соответствуют состояния неустойчивого равновесия типа центра, переходящие в точки типа устойчивого и неустойчивого фокуса, точкам оси А=0 — так называемые сложные особые точки, простейшая из которых (при А = 0, а>0) — точка типа «седло-узел» изображена на рис. 1.21.
Рассмотрим несколько примеров применения качественной теории дифференциальных уравнений, в частности метод исследования устойчивости стационарных состояний по Ляпунову при изучении моделей некоторых биологических процессов.
