Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Рубин А.Б. -> "Кинетика биологических процессов" -> 17

Кинетика биологических процессов - Рубин А.Б.

Рубин А.Б., Пытьева Н.Ф., Резниченко Г.Ю. Кинетика биологических процессов — М.: МГУ, 1987. — 304 c.
Скачать (прямая ссылка): kinetikabiologicheskihprocessov1987.djvu
Предыдущая << 1 .. 11 12 13 14 15 16 < 17 > 18 19 20 21 22 23 .. 126 >> Следующая

«2 &3
Рассмотрим фазовый портрет системы..-Разделим второе уравнение системы (1.3—18) на первое. Получим
dy_ = к^х — кзу (1.3—20)
dx ki — k^c
\
Уравнение (1.3—20) определяет поведение переменных на фазовой плоскости. Следуя рецепту предыдущей главы, нарисуем сначала главные изоклины на фазовой плоскости. Урарнение главной изоклины вертикальных касательных:
dy ki
—2_=оо, х = —.
dx k2
Уравнение главной изоклины горизонтальных касательных:
= 0, у=**. dx кя
Отметим, что изоклина вертикальных касательных является в то
же время интегральной кривой. Как указывалось в предыдущей
главе, особая точка лежит на пересечении главных изоклин.
Определим теперь, под каким углом пересекаются координатные оси интегральными кривыми. Если х=0, то —-------------------—у.
dx kt
Таким образом, тангенс угла наклона касательной к интегральным кривым у = у(х), пересекающим ось ординат х=0, отрицателен в верхней полуплоскости (вспомним, что переменные х, у имеют значения . концентраций, и поэтому нас интересует лишь правый верхний квадрант фазовой плоскости). При этом величина тангенса, угла наклона касательной увеличивается с удалением от начала координат. Рассмотрим ось «/=0. В месте пересечения этой оси интегральными кривыми они описываются уравнением
dy _ k2x dx ki — k2x
При 0 < x < — тангенс угла наклона интегральных кривых,
кг
пересекающих ось абсцисс, положителен и увеличивается от нуля
до бесконечности с увеличением х. dy
—2_ = оо при х , затем при
dx * ’ *
дальнейшем увеличении х тангенс угла, наклона уменьшается по абсолютной величине, оставаясь отрицательным, и стремится к — 1 при х оо. Зная направление касательных к интегральным кривым на главных изоклинах и на осях координат, легко построить всю картину фазо-Рис. 1.20. Фазовый портрет вых траекторий (рис. 1.20).
системы (1.3—18) Из фазового портрета видно, что
рассмотренная нами система имеет особую точку типа узла.
Характер устойчивости особой точки установим, используя метод, описанный в предыдущих параграфах этой главы.
Запишем характеристическое уравнение системы (1.3—18):
—k2—к 0
-j Я
= 0.
Или, раскрывая определитель:
А,2-|- (&2 Ч- кз)К -)- ksks—O.
Корни характеристического уравнения
Я.1,2 = — [ —(&2 + ks) ± V^(k2 + 63)2 —4^3 ]
(1.3—21)
"(1.3 — 22)
всегда оба действительны, так как дискриминант выражения .(I. 3—22)
D = (&2 + ^з)2-4Мз= (&2—*з)2
положителен при любых значениях параметров. Легко видеть, что ]//) всегда меньше, чем ?2 + 63, т. е. корни характеристического уравнения оба отрицательны. Следовательно, стационарное состояние (-1.3—19) системы уравнений (1.3—18) представляет собой особую точку типа устойчивый узел, т. е., что при любых начальных значениях концентраций по истечении достаточно долгого времени их значения примут величину, сколь угодно близкую к (1.3—19). При этом концентрация вещества х стремится к своему стационарному состоянию всегда монотонно, концентрация вещества у может при определенных начальных условиях проходить через шах или min. Колебательные режимы в такой системе невозможны.
§ 4. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ ПО МЕТОДУ ЛЯПУНОВА. ПРИМЕРЫ: УРАВНЕНИЯ ЛОТКИ И ВОЛЬТЕ РР А
От частного случая линейной системы вернемся к общему случаю динамической системы, описываемой двумя дифференциальными уравнениями первого порядка:
-|- = Р(х, у), = У)- (1-4-1)
Чтобы отыскать на фазовой плоскости состояния равновесия, нужно найти те точки фазовой плоскости, где скорость изменения переменных равняется нулю, или, иначе, нужно найти точки пересечения кривых:
Р{х,у)= 0, Q(x, г/)=0.
Как мы уже знаем, эти точки будут особыми точками дифференциального уравнения первого порядка, определяющего интегральные кривые:
Jy_= Q(x, у) (1.4—2)
dx Р(х, у) '
Перейдем к исследованию устойчивости состояния равновесия системы (1.4—1).
Пуанкаре и Ляпунов дали аналитический метод исследования устойчивости стационарного состояния.
Для исследования устойчивости состояния равновесия х, у— точки пересечения главных изоклин Р(х, у) = 0 и Q(x, у)= 0 — необходимо рассмотреть характер движений при наличии некоторых отклонений от состояния равновесия. Введем вместо переменных х, у новые независимые переменные |, ц, определив их как смещения относительно положения равновесия на фазовой плоскости:
Предыдущая << 1 .. 11 12 13 14 15 16 < 17 > 18 19 20 21 22 23 .. 126 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed