Кинетика биологических процессов - Рубин А.Б.
Скачать (прямая ссылка):
Классическим примером системы, имеющей своей особой точ< кой центр, является система Вольтерра (см. § 4).
Сформулируем результаты нашего исследования. В рассматриваемой линейной системе
= ах + by, -^- =cx + dy dt dt а
в случае отсутствия вырождения (т. е. при ad—ЬсФ0) возможно шесть типов состояний равновесия в зависимости от характера корней характеристического уравнения
%2 — A, (a + d) + (ad — be) = 0:
1) Устойчивый узел (?и и Яг действи-
n„. в 1 о „ тельны и отрицательны).
Рис. 1.18. Особая точка типа тт « « /* л. * *
центр на фазовой плоскости Неустойчивый узел (Ai и Аг дейст-х, у вительны и положительны).
3) Седло (A,i и Яг действительны и разных знаков).
4) Устойчивый фокус (A,i и Яг комплексны и ИеЯ<0).
5) Неустойчивый фокус (Я1 и Яг комплексны и ИеЯ>0).
6) Центр (Xi и Яг мнимые).
Первые пять типов состояния равновесия грубые, их характер не изменяется при достаточно малых изменениях правых частей уравнений (1.3—1) (малыми должны быть изменения не только правых частей, но и их производных первого порядка).
Введем обозначения:
0=-(<. + <!); Л-|“Ц.
Тогда характеристическое уравнение запишется в виде
* Я2 -f- аЯ -J- Д—0.
Для различных о и Д будем иметь различные корни — Л] и Яг-Рассмотрим плоскость с прямоугольными декартовыми коор-динатами о и Д и отметим на этой плоскости области, соответствующие тому или другому характеру состояния равновесия. Учтем при этом, что
. -г-а ± ~1/а2 — 4 А
Условием устойчивости состояния равновесия будет наличие отрицательной действительной части у и Ад.' Необходимое и достаточное условие этого — выполнение неравенств о > О, Д > 0. На диаграмме (рис. 1.19)- этому условию соответствуют точки, расположенные в первой четверти. Особая точка будет фокусом,* если Xi и Яг комплексны. Этому условию удовлетворяют те точки плоскости о, Д, для которых о2 — 4Д < 0, т. е. точки, лежащие между ветвями параболы о2=4Д. Точки полуоси д=0, Д > 0 соответствуют состояниям равновесия типа центра. Аналогично Яи Яг — действительны, но разных знаков, т. е. особая точка будет седлом, если Д < 0 и т. д. В итоге мы получим диаграмму разбиения плоскости параметров а, Д на области, соответствующие различным типам состояния равновесия.
Если коэффициенты линейной системы а, Ь, с, d зависят от некоторого параметра, то при изменении этого параметра будут меняться соответственно о и Д.
При изменении соотношения между этими величинами происходит изменение (деформация) фазового портрета. На плоскости
о, Д мы будем иметь таким образом некоторую кривую, переходящую при некоторых бифуркационных значениях параметра йз одной области в другую с качественным изменением фазового портрета. В процессе бифуркации изменяется тип особой точки.
На диаграмме видно, как могут происходить такие изменения. Если исключить особые случаи (прохождение через начало коор-
Седла I А)>0, А2*0
Неустойчивый узел *0, А/ =0
Рис. 1.19. Плоскость параметров Д, а для системы уравнений (1.1):
Хг — Действительная часть, Яг — мнимая часть корней характеристического
уравнения (1.3—4)
динат), то легко видеть, что седло может перейти в узел, устойчивый или неустойчивый; устойчивый узел может перейти либо в седло, либо в устойчивый фокус и т. д. Может также меняться характер устойчивости особой точки: устойчивый фокус через центр может переходить в неустойчивый фокус и обратно. Как при изменении типа особой точки, так и при изменении характера ее устойчивости меняется топологическая структура фазовой плоскости в окрестности особой точки. Заметим, что случай равных корней (о2 — 4Л=0) соответствует границе между узлами и фокусами. Если коэффициенты линейной системы зависят от двух параметров, то обычно бывает целесообразно построить плоскость этих параметров и на ней диаграмму, соответствующую только что рассмотренной.
Для иллюстрации применения теории линейных дифференциальных уравнений рассмотрим простейшую систему химических реакций:
Вещество х притекает извне с постоянной скоростью, превращается в вещество у и со скоростью, пропорциональной концентрации вещества у, выводится из сферы реакции. Все реакции имеют первый порядок, за исключением процесса притока веще-
ства извне, имеющего нулевой порядок. Запишем соответствующую систему уравнений:
f-^L = k1—k2x,
I (1.3-18)
------ k2x—k,y.
dt 2 3i/
Координаты особой точки, т. е. стационарные концентрации веществ х и у, получим, приравняв нулю правые части уравнений системы (1.3—1.8):
X = h-,-y=*L. (1.3-19)
