Кинетика биологических процессов - Рубин А.Б.
Скачать (прямая ссылка):
Переходя теперь обратно к координатам х, у, мы получим в силу уже использованных соображений ту же самую качественную картину характера траекторий' вокруг начала координат (рис. 1.15).
Особые точки типа седла играют важную роль в так называемых «триггерных» биологических системах, имеющих три особые точки: две устойчивые и одну неустойчивую — седло, — лежащую между ними. В зависимости от того, по какую сторону от сепаратрисы седла находится начальное состояние системы, изображающая точка попадает в область притяжения той или иной устойчиво особой точки (см. подробно § 5).
3. Л,1 и Л.2 комплексно-сопряженные
Нетрудно видеть, что в этом случае при действительных х и у мы будем иметь комплексно-сопряженные \ и rj. Однако, вводя еще одно промежуточное преобразование, можно и в этом случае свести рассмотрение к действительному линейному однородному преобразованию. Положим:
^1 = а1 + ^1> l = u + iv,
(1.3 — 13)
‘k2 — al—ibu rj — и—iv,
где аь Ь\ и и, v — действительные величины. Преобразование от х, у к и, v является при наших предположениях действительным, линейным, однородным с детерминантом, отличным от нуля. В силу уравнений (1.3—7) и (1.3—13) имеем:
du + i JL. =, -I- фг) (u + iv),
откуда
dt dt
du . dv
~df ~dT
du
dt
dv
axu—bxv,
(1.3-14)
a^v-l bxu.
dt
Разделив второе из уравнений (1.3—14) на первое, получим уравнение
a'v ±.blU t (1.3—15)
du a±u — bLv
Рис. 1.16. Особая точка типа фокус на плоскости координат и, v
Рис. 1.17. Особая точка типа устойчивый фокус на фазовой плоскости х, у\ области г 6 иллюстрируют устойчивость
которое легче интегрируется после перехода к полярной системе координат. В полярной системе г, ф после подстановки u = rcos(f>,
o = rsin<p получим
dr __
Ар
h
г,
откуда
г —се — ф. bi
(1.3 — 16)
Таким образом, на фазовой плоскости и, v расположено семейство логарифмических спиралей, каждая из которых имеет асимптотическую, точку в начале координат (рис. 1.16).
Установим характер движения изображающей точки по фазовым траекториям. Умножая первое из уравнений (1.3—14) на и, второе на v и складывая, получаем 1 ф ~2~dT
= агр, где р — u2 + v\
(1.3—17)
Пусть ai<0 (ai = ReA,). Изображающая точка тогда непрерывно приближается к началу координат, не достигая его, однако, в конечное время. Это означает, что все фазовые траектории соответствуют колебательным, но затухающим, стремящимся к положению равновесия движения (за исключением «движения» по траектории ы = 0, и = 0).
Особая точка — асимптотическая точка всех интегральных кривых, имеющих вид спиралей, вложенных друг в друга, называется фокусом.
Посмотрим, будет ли в рассматриваемом случае особая точка типа фокуса устойчивой. Представляющая точка по всей интегральной кривой двигается, приближаясь к особой точке, отсюда
следует, что условие устойчивости состояния равновесия, сформулированное нами в предыдущей главе, выполняется. Действительно, мы всегда можем выбрать такую область б (двойная штриховка), чтобы представляющая точка не вышла за пределы области е (простая штриховка) (рис. 1.17).
В случае устойчивого фокуса, как и в случае устойчивого узла, будет выполнено не только условие устойчивости по Ляпунову, но и более жесткое требование. Именно при любых начальных отклонениях система по прошествии достаточно длительного промежутка времени вернется как угодно близко к положению равновесия. Такую устойчивость, при которой начальные отклонения не только не нарастают, но, наоборот, затухают, называют абсолютной устойчивостью.
Если в формуле (1.3—17) ai > 0 (ai = ReA,), то изображающая точка непрерывно удаляется от начала координат, и мы имеем дело с неустойчивым фокусом.
При переходе от плоскости и, v к исходной фазовой плоскости х, у спирали также останутся спиралями, однако будут деформированы. Особая точка типа фокус является стационарным решением уравнений, описывающих затухающие колебания тех или иных характеристик биологических систем.
При ai = 0 фазовыми траекториями на плоскости и, v будут окружности и2 + о2=const, которым на плоскости х, у соответ: ствуют эллипсы
by2 -j- (а — d)xy — сх2 = const.
В этом случае через особую точку х—0, у=0 не проходит ни одна интегральная кривая. Такая изолированная особая точка, вблизи которой интегральные кривые представляют собой замкнутые кривые, в частности эллипсы, «вложенные» друг в друга и охватывающие особую точку, называется центром (рис. 1.18).
