Кинетика биологических процессов - Рубин А.Б.
Скачать (прямая ссылка):
Все интегральные кривые (кроме оси rj,’ которой соответствует с — оо) касаются в начале координат оси ?, последняя также является интегральной кривой уравнения (1.3—9). Начало координат — особая точка.
Выясним теперь направление движений на фазовой плоскости. Если Ль Л2 отрицательны, то, как видно из уравнений (1.3—7), |?|, |-rj 1 убывают с течением времени. Изображающая точка с течением времени приближается к началу координат, никогда, однако, не достигая его в конечное время, так как это противоречи- -ло бы теореме Коши, которая утверждает, что через каждую точку фазовой плоскости проходит лишь одна фазовая траектория системы уравнений (1.3—7). Такая особая точка, через которую проходят интегральные кривые подобно тому, как семейство парабол у = сха (а>0) проходит через начало координат, носит название узла (рис. 1.12).
Нетрудно видеть, что состояние равновесия, соответствующее узлу, при Ль Л2<0 является устойчивым по Ляпунову, так как изображающая точка по всем интегральным кривым движется по направлению к началу координат (устойчивый узел). Если же Ль Л2 положительны, то ||| и |rj| возрастают с течением времени и изображающая точка с течением времени удаляется от начала координат. В таком случае мы имеем дело с неустойчивым узлом.
Вернемся теперь на фазовую плоскость х, у. Общий качественный характер поведения интегральных кривых вокруг состояния
2 Зак. 353
33
равновесия при этом ие меняется, но касательные к интегральным кривым в особой точке уже не будут совпадать с осями координат. Угол наклона этих касательных к осям координат определяется соотношением коэффициентов а, р, Y, б в выражениях (1.3—8). Фазовые траектории вокруг устойчивого и неустойчивого узла на фазовой плоскости х, у, когда Xi и Я.2 действительны и одинаковых знаков, представлены на рис. 1.13.
Следует отметить, что для многих биологических систем характерен «бес-колебательный» переход из произвольного начального состояния в стационарное. Такие системы описываются дифференциальными уравнениями, имеющими своим стационарным решением устойчивую особую точку типа узел.
Рис.- 1.12. Особая точка типа узел на плоскости канонических координат
5. л
2. Корни X] и действительны, но разных знаков
Преобразование от координат х, у к координатам %, rj опять действительное. На плоскости rj точно так же имеет место каноническая система:
dt
dt\
Vl-
dt dt
Однако теперь Xi и Я.2 разных знаков. Уравнение кривых на фазовой плоскости имеет вид:
d%
Интегрируя это уравнение, находим
т1 = сЦг«.
(1.3-11)
(1.3—12)
Рис. 1.13. Устойчивый (а) и неустойчивый (б) узел на фазовой плоскости х, у
Рис. 1.14. Особая точка типа седло на плоскости канонических координат 6. П
Рис. 1.15. Особая точка типа седло на фазовой плоскости
х, у
Это выражение определяет семейство кривых гиперболического типа, имеющих обе оси координат асимптотами (при а= 1 мы имели бы семейство равнобочных гипербол). Оси координат в этом случае — интегральные кривые; это будут единственные интегральные кривые, проходящие' через начало координат. Каждая из таких интегральных прямых, проходящих через начало координат, состоит из трех фазовых траекторий системы уравнений (1.3—7): из двух движений к состоянию равновесия (или от состояния равновесия) и из состояния равновесия.
Начало координат будет единственной особой точкой рассматриваемого семейства интегральных кривых. Все остальные интегральные кривые суть гиперболы. Такая особая точка, через которую проходят только две интегральные кривые, являющиеся асимптотами (все остальные интегральные кривые, имеющие вид' гипербол, через особую точку не проходят), называется особой точкой типа седла (рис. 1.14). (Линии уровня вблизи горной седловины ведут себя именно таким образом).
Рассмотрим характер движения изображающей точки по фазовым траекториям вблизи состояния равновесия. Пусть, например, hi>0, а Хг<0. Тогда изображающая точка, помещенная на оси будет удаляться от начала координат, а помещенная на оси т) будет неограниченно приближаться к началу координат, ие достигая его в конечное время. Легко убедиться, рассматривая движения представляющей точки, что где бы ни находилась представляющая точка в начальный момент (за исключением особой точки и точек на асимптоте т] = 0), она в конечном счете будет удаляться от состояния равновесия. Очевидно, особая точка типа седла всегда неустойчива.
Лишь при движении по асимптоте т)=0. система' будет приближаться к состоянию равновесия. Однако этот специальный случай движения к состоянию равновесия не нарушает утверждения о том, что состояние равновесия в данном случае неустойчи-
2*
35
во. Действительно, при любых начальных условиях, отличающихся от тех специально выбранных, которые точно соответствуют асимптоте т] = 0, система будет удаляться от состояния равновесия. Если считать, что все начальные состояния равновероятны, то вероятность такого начального состояния, которое соответствует движению по направлению к особой точке, равна нулю.
