Кинетика биологических процессов - Рубин А.Б.
Скачать (прямая ссылка):
Можио записать это определение устойчивости на языке математических • неравенств, предположив для простоты, что область допустимых отклонений е представляет собой квадрат (рис. 1.11).
Состояние равновесия х=х, у —у устойчиво, если для любого-заданного е (е>0) можно найти такое 6>0, что если при t=О выполняются неравенства
|*(0)—*|<8 и | г/(0)—у\ <6, (1.2-11)
то для любого последующего момента йремени 0<<< + оо будут справедливы неравенства
ИО— х\<г и \y(t)— д\<е. (1.2—12)
Иными словами, все последующие отклонения значений переменных от равновесных также будут малыми.
Для некоторого класса систем, а именно грубых систем, характер поведения которых не меняется при малом изменении вида уравнений (1.2—1), информацию о характере состояний равновесия можно получить, исследуя не исходную нелинейную, а упрощенную линеаризованную систему. Процесс линеаризации системы двух уравнений описан подробно в § 4. Вначале мьг рассмотрим возможные типы состояний равновесия в линейных системах, 'проведем классификацию особых точек, а затем уже перейдем к рассмотрению систем более общего типа, имеющих в правых частях уравнений системы произвольные функции
Р(х, у) и Q(x, у), которые могут содержать нелинейные члены по отношению к переменны^ х, у.
§ 3. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ. ТИПЫ ОСОБЫХ ТОЧЕК: УЗЕЛ, СЕДЛО, ФОКУС, ЦЕНТР. ПРИМЕР АНАЛИЗА ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ:
ХИМИЧЕСКИЕ РЕАКЦИИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Рассмотрим простейшие динамические системы вида (1.2—1), которые могут быть описаны системой двух линейных дифференциальных уравнений первого порядка:
-^-=ах + Ьу, —= cx + dy, (1.3—1)
dt dt v ’
где a, b, с, d — константы, a x и у — декартовы координаты на
фазовой плоскости.
Общее решение системы будем искать в виде:
х=Ае», у=Ве». (13—2)
Подставим эти выражения в (1.3—1) и сократим иа ех‘:
%А = аА + ЬВ, (1.3-3)
KB = cA+dB.
Алгебраическая система уравнений (1.3—3) с неизвестными А, В .имеет ненулевое решение лишь в том случае, если ее определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, равен нулю:
а—% Ь
d—К
= 0. (1.3—За)
Раскрывая этот определитель, получим так называемое характеристическое уравнение системы (1.3—1):
k2—(a + d)k+(ad—bc)= 0. (1-3—4)
Решение этого уравнения дает значения показателя Я,1,г, при которых возможны ненулевые для А и В решения уравнения ,(1.3-*-3). Эти значения суть
Л.1,2 =-^-± l/~(a..td)2 + be-ad (1.3—5)
2 f 4
Отметим, что если подкоренное выражение отрицательно, то Яif2 — комплексно-сопряженные числа. Предположим, что оба
корня уравнения (1.3—4) имеют отличные от нуля действительные части и что нет кратных корней. Тогда общее решение системы (1.3—1), записанное в общем виде (1.3—2), можно представить в виде линейной комбинации экспонент с показателями Xi и
(х=спе^ + с1геК 6)
I У = c21elitсмех*(.
Для анализа характера возможных траекторий системы ;(1.3—1) на фазовой плоскости используем линейное однородное преобразование координат. Такое преобразование позволит привести систему (1.3—1) к так называемому каноническому виду
= ^- = Vl, (1-3-7)
dt dt
допускающему более удобное представление на фазовой плоскости по сравнению с исходной системой (1.3—1). Введем новые координаты |, т) по формулам:
? = сix + $y, ц=ух + Ьу. (1-3—8)
Из курса линейной алгебры известно, что в случае неравенства
нулю действительных частей Ль Л2 (Re Л1,2=^=0) исходную систему (1.3—1) при помощи преобразований (1.3—8) всегда можно привести к каноническому виду (1.3—7) и рассматривать ее поведение на фазовой плоскости rj. Здесь возможны различные случаи. ¦*
1. Корни Ль Л2 действительны и одного знака
Тогда коэффициенты преобразования действительны и мы имеем переход от действительной плоскости х, у к действительной плоскости Т).
Разделив одно из канонических уравнений (1.3—7) на другое, имеем
dr\ Л2 т) •
Интегрируя это уравнение, находим
(1.3-9)
ri = c|||a, где а = -^-. (1.3 — 10)
1
Условимся понимать под Л2 корень характеристического уравнения с большим модулем (это не нарушает общности нашего рассмотрения). Тогда, поскольку в рассматриваемом случае Ль Л2 одного знака, а>1 и мы имеем дело с интегральными кривыми параболического типа.
