Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Рубин А.Б. -> "Кинетика биологических процессов" -> 12

Кинетика биологических процессов - Рубин А.Б.

Рубин А.Б., Пытьева Н.Ф., Резниченко Г.Ю. Кинетика биологических процессов — М.: МГУ, 1987. — 304 c.
Скачать (прямая ссылка): kinetikabiologicheskihprocessov1987.djvu
Предыдущая << 1 .. 6 7 8 9 10 11 < 12 > 13 14 15 16 17 18 .. 126 >> Следующая

dx
~dt
_=Р(х,у) = о,
X, у
0-2—9)
-J-L- =Q(x,y) = 0.
dt I*, у
Таким образом-, в особой- точке -скорости изменения переменных равны нулю, и, следовательно, особая точка дифференциального уравнения фазовых траекторий (1.2—3) соответствует стационарному состоянию системы (1.2—1), а ее координаты суть стационарные значения переменных у.
Для качественного изучения часто можно ограничиться построением не всех, а лишь некоторых изоклин на фазовой плоскости. Особый интерес представляют так называемые «главные» нзо-
клины: —?- = 0— изоклина горизонтальных касательных к фазо-dx
вым траекториям, уравнение которой
Q(x,y)= 0,
и изоклина вертикальных касательных =оо, которой соответствует уравнение Р(х, у) = 0.
Построив главные изоклины и найдя точку их пересечения (х, у), координаты которой удовлетворяют условиям:
Р(х, у)=0, Q(x, у)=0,
мы определим тем самым точку пересечения всех изоклин 'фазовой плоскости, в которой направление касательных к фазовым, траекториям неопределенно:
_dy_ I _Q(* = q (1.2—10>
dx Iх,у Р(х,у)
Эта, как уже говорилось, особая точка и соответствует стационарному состоянию системы.
Система уравнений (1.2—1) обладает столькими стационарными состояниями, сколько точек пересечения главных изоклин имеется на фазовой плоскости.
Каждая фазовая траектория соответствует совокупности движений динамической системы, проходящих через одни и те же состояния и отличающихся друг от друга лишь началом отсчета времени. Таким образом, рассматривая фазовый портрет системы, т. е. решая графически уравнение интегральных кривых (1.2—3), мы тем самым изучаем проекцию интегральной кривой в пространстве всех трех измерений х,. у, t системы (1.2—1) на плоскость х, у (рнс. 1.10).
Если условия теоремы Коши для системы уравнений (1.2—1) выполнены, то через каждую точку пространства », у, i проходит единственная интегральная кривая этой системы уравнений, т. е. интегральные кривые в пространстве х, у, t пересекаться не могут. То же самое благодаря автономности уравнений (1.2—1) можно сказать и о фазовых траекториях: они также не могут пересекаться, так как через каждую точку фазовой плоскости проходит единственная фазовая траектория.
В силу указанного свойства фазовых траекторий изображающая точка, двигаясь по другим фазовым траекториям, не может прийти в состояние равновесия ни при каком конечном t. Установление состояний равновесия в динамических системах, описываемых уравнениями (1.3—1), происходит только асимптотически (только при f-voo).
В предыдущей главе мы дали определение устойчивости стационарного решения одного уравнения. В рассматриваемом здесь случае системы двух уравнений удобно дать определение устойчи-
Фазовая
траектория
Рис. 1.10. Траектория системы (1.1—1) в пространстве х, у, t
I:
X
Рис. 1.11. Иллюстрация к определению устойчивости. Области е и 6 на плоскости х, у.
вости стационарного состояния, используя для этого уже введенное нами представление о фазовой плоскости.
Пусть рассматриваемая система находится в состоянии равновесия. Тогда изображающая точка на фазовой плоскости находится в неподвижности в одной из особых точек системы, так как в этих точках по определению
dx
~dT
0;
dy
di
= 0.
Если теперь мы выведем систему из состояния равновесия, то изображающая точка сместится из особой точки и начнет двигаться по фазовой плоскости в соответствии с уравнениями ее движения:
-%-=Р{х,уУ, -%-=Q(x,y).
at at
Устойчива или нет рассматриваемая нами особая точка системы определится тем, уйдет или нет изображающая точка из некоторой данной области, окружающей особую точку, причем эта область может быть большей или меньшей в зависимости от условий задачи. Применительно к системе двух уравнений определение устойчивости на языке е, б выглядит следующим образом.
Состояние равновесия устойчиво, если для любой заданной области допустимых отклонений от состояния равновесия (область *) мы можем указать область 6(e), окружающую это состояние
равновесия и обладающую тем свойством, что ии одна траектория изображающей точки, начинающаяся внутри б, никогда не достигнет границы области е. Наоборот, состояние равновесия неустойчиво, если может быть указана такая область отклонений от состояния равновесия (область е), для которой ие существует области 6(e), окружающей состояние равновесия тем свойством, что ни одна траектория, начинающаяся внутри б, никогда не достигнет границы е.
Предыдущая << 1 .. 6 7 8 9 10 11 < 12 > 13 14 15 16 17 18 .. 126 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed