Кинетика биологических процессов - Рубин А.Б.
Скачать (прямая ссылка):
Дх=Р(х, у) At,
(1.2-2)
Ay = Q(x, у) At.
Очевидно, что при At>0 в зависимости от знаков Р(х, у) и Q(x, у) приращения Ах и А у могут быть как положительными,
так и отрицательными. Направление вектора в точке (х, у)
зависит от знаков функций Р(х, у) и Q{x, у) в этой же точке и может быть задано такой таблицей:
Р(*,У) > 0 , Q(x ,у) •> о У Н/.
Ах
* У Ах X
Р(х, y)t 0 , Q(x,y)*0 'А АУ
Р(х, у) ?0 , Q (х, у) * 0 Г Ах л<
Р(х, У) *.0 ,, (*,</) >0 к X
У > \.*1/
Ах
х
Определив таким образом направление траекторий в каждой точке фазовой плоскости, будем иметь полный фазовый портрет системы. Задача построения векторного поля несколько упрощается, если получить выражение для фазовых траекторий в аналитическом виде.
Вспомним, что фазовая траектория имеет касательные к траекториям, тангенс угла наклона которых в каждой точке М(х, у)
равен значению производной в этой же точке -^-(х,у). Следовательно, чтобы провести фазовую траекторию через точку фазовой плоскости М\(х\, у\), достаточно знать направлйше каеа-
тельной в этой точке плоскости или значение производной
*=*,. Для этого необходимо получить уравнение, содержала у=ух
щее переменные х и у и не содержащее времени t в явном виде. Чтобы из исходной системы уравнений
J±.=P{x,yy, -±.=Q(x,4)
at at
получить уравнение, связывающее непосредственно х и у, и таким образом, не интегрируя уравнений, перейти к картине на фазовой плоскости, разделим второе уравнение системы на первое. Получим дифференциальное уравнение
= (1.2 — 3)
dx Р(х, у)
которое во многих случаях более простое, чем исходная система второго порядка (1.2—1). Решение этого уравнения у=у(х, с), или в неявной форме F(x, у)=с, где с'— постоянная интегрирования даст нам семейство интегральных кривых — фазовых траекторий системы (1.2—3) на'плоскости^, у.
Однако часто построение полного фазового портрета системы представляет собой достаточно трудную задачу, так как в общем случае уравнение (1.2—3) может и не иметь аналитического решения. Тогда построение интегральных кривых производится качественно.
Для качественного построения фазового портрета системы обычно пользуются методом изоклин. Метод заключается в том, что на фазовой плоскости наносятся линии, которые пересекают интегральные кривые под одним определенным углом. Рассматривая ряд изоклин, можно установить, каков будет ход самих интегральных кривых.
Уравнение изоклин легко получить из уравнения (1.2—3). Положим ,
-Т-=А, (1.2-4)
ах
где А — определенная постоянная величина. Значение А представляет собой тангенс угла наклона касательной к фазовой траектории и, следовательно, может принимать значения от —оо до
+ оо. Подставляя в (1.2—3) вместо величину At получим уравнение изоклин:
А °-(х' у) , (1.2—5)
Р{*,У) V
Давая А определенные численные значения, получаем набор кривых. В любой точке каждой из этих кривых угол наклона касательной к фазовой траектории, проходящей через эту тбчку, ра-
вен одной и той же величине, а именно величине А, характеризующей данную изоклину.
Отметим, что в случае линейных систем, правые части которых Р(х. У). Q(x, у) представляют собой линейные относительно х, у формы, изоклины представляют собой пучок прямых, проходящих через начало координат. Так, если изучаемая нами система опи' сывается линейными однородными уравнениями вида:
dx ,
— = ах + by, at
(1.2—1>>
= cx + dy,
At
уравнение изоклин можно записать в следующем виде:
с* + ^- = Л, или у= (Аа~~с)х- . (1.2—7)
ах + by d— Ab
Уравнение (1.2—3) непосредственно определяет в каждой точке плоскости единственную касательную к соответствующей интегральной кривой, за исключением точки, где Р(х, у)— О, Q(x, ij)= 0, в которой направление касательной Становится неопределенным, так как при этом становится неопределенным значение производной
dy
dx
х=-х = Q(x: У1 = 0. (1.2—8) yjy Р(Х'У)
Эта точка является точкой пересечения всех изоклин.
Точки, в которых направление касательных к интегральным кривым неопределенно, носят название особых точек. Особая точка обладает тем важным свойством, что в ней одновременно «збращаются в нуль производные по времени переменных х и у.
