Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Рубин А.Б. -> "Кинетика биологических процессов" -> 10

Кинетика биологических процессов - Рубин А.Б.

Рубин А.Б., Пытьева Н.Ф., Резниченко Г.Ю. Кинетика биологических процессов — М.: МГУ, 1987. — 304 c.
Скачать (прямая ссылка): kinetikabiologicheskihprocessov1987.djvu
Предыдущая << 1 .. 4 5 6 7 8 9 < 10 > 11 12 13 14 15 16 .. 126 >> Следующая

Такие системы уравнений могут описывать гораздо более широкий класс биологических явлений, чем одно уравнение первого
Я fa)
Рис. 1.9. Зависимость правой части уравнения (1.1—14) от параметра а
порядка. В частности, в таких системах возможны автоколебания т. е. периодические изменения переменных с постоянной амплитудой. Напомним, что решения одного уравнения вида
¦Цг =/(*)
at
всегда являются монотонными, следовательно, не могут описывать какой бы то ни было реальный периодический процесс. Обладая достаточно богатыми свойствами, системы второго порядка в та же время допускают наглядное представление поведения переменных на фазовой плоскости. Исследование систем более высокого порядка, как правило, настолько сложное, что приходится решать их численно при помощи ЭВМ; общность и наглядность при этом, естественно, теряются. Однако динамические системы третьего и более высокого порядка могут обладать качественно иными свойствами, например демонстрировать квазистохастическое поведение.
Прн исследовании свойства моделей, состоящих из двух дифференциальных уравнений, используются методы качественной теории, существенно базирующиеся на представлении о фазовом портрете системы. В этой и последующих главах мы остановимся на некоторых общих свойствах систем второго порядка, описываемых в общем виде уравнениями:
^-=Р(х,у),
at
(1.2-1) -3-= «<*.*>¦
Здесь Р(х, у), Q(x, у) — непрерывные функции, определенные в некоторой области G евклидовой плоскости (х, у — декартовы координаты) -и имеющие в этой области непрерывные производные порядка не ниже первого.
Область G может быть как неограниченной, так и ограниченной. В случае, когда переменные величины х, у имеют конкретный биологический смысл (концентрации веществ, численность вида), на них, как правило, накладываются некоторые ограничения, прежде всего биологические переменные не могут быть отрицательными. Так, в модели Вольтерра, описывающей взаимодействие двух видов: хищника и жертвы, х^О — переменная, характеризующая численность жертвы, а 0 — хищника. Область G представляет собой положительный квадрат правой полуплоскости:
0^*<оо; 0^г/<оо.
Часто численность того или иного вида бывает ограничена сверху какими-нибудь внешними по отношению к рассматривае-
мой системе условиями, например площадью ареала обитания:
0<дс<дс0; 0<г/<г/0.
Иногда бывает, что значения переменных (численность вида) не могут упасть ниже определенной величины. В этом случае область изменения переменных ограничена не только сверху, но и снизу:
¦*10^*^*20>
Ую^У^Ут-
То же имеет место в химической кинетике. Так, если хну — концентрации реагирующих веществ, то
0<j/sQ/o,
где Хо, Уо — максимально возможные концентрации реагентов. Таким образом, в данном случае область G является ограниченной.
В процессе изменения во времени переменные х, у изменяются согласно системе уравнений (1.2—1) так, что каждому состоянию системы соответствует определенная пара значений неизвестных х, у.
Обратно, каждая пара значений (*, у) описывает определенное состояние системы. Рассмотрим плоскость с осями координат, на которых отложены значения переменных х, у. Каждая точка М этой плоскости с координатами (*, у) соответствует определенному состоянию системы. Такая плоскость носит название фазовой плоскости, или плоскости состояний системы, и изображает совокупность всех состояний системы. Точка М(х, у) называется изображающей, или представляющей точкой. Пусть при t = t0 координаты изображающей точки Мо(х0, уо). В каждый следующий момент времени t изображающая точка будет смещаться и принимать положение М\х, у), соответствующее значениям *(0, y(t). Совокупность всех точек М{х, у) на фазовой плоскости (х, у), положение которых соответствует состояниям системы в процессе изменения согласно уравнениям (1.2—1), называется фазовой траекторией.
Допустим, что нам не известен характер изменений переменных в системе, но известен характер фазовых траекторий. Фазовая плоскость, разбитая на траектории, дает легко обозримый «портрет» системы, т. е. возможность сразу охватить всю совокупность изменений переменных х, у, могущих возникнуть при всевозможных начальных условиях. Часто не решая систему уравнений вида (1.2—1) и руководствуясь только видом уравнений, можно построить фазовый портрет системы. Этот путь позволяет сделать выводы о характере движения без знания аналитических выражений исходной системы уравнений и, следовательно, применим и в тех случаях, когда такие аналитические выражения не могут быть найдены.
Для изображения фазового портрета необходимо построить векторное поле направлений траекторий системы в каждой точке плоскости х, у. Задавая приращение Д?>0, мы получим для х и у соответственно приращения Дл: и Ау, которые найдем из общей системы (1.2—1):
Предыдущая << 1 .. 4 5 6 7 8 9 < 10 > 11 12 13 14 15 16 .. 126 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed