Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Рубин А.Б. -> "Транспорт электронов в биологических системах " -> 61

Транспорт электронов в биологических системах - Рубин А.Б.

Рубин А.Б., Шинкарев В.П. Транспорт электронов в биологических системах — М.: Наука, 1984. — 321 c.
Скачать (прямая ссылка): transportelektronov1984.djvu
Предыдущая << 1 .. 55 56 57 58 59 60 < 61 > 62 63 64 65 66 67 .. 136 >> Следующая

dpi (t) / dt < -ktiPi + (l - Pi )maxkji (7.4)

Умножая полученное дифференциальное неравенство с постоянными коэффициентами вида
dx/dt < а-(а + Ь)х (7.4)
слева и справа на величину e(a+b)t и замечая, что
d[xe^a+b)‘]/dt = dx/dt ¦ /a+b* - (а + b)xe^b)t, получим
dlxe(a+b)t]/dl<ae(a+b)t Интегрируя это неравенство, найдем
а + Ъ а + Ъ
Откуда
Vo;- а
, . ^ а
x(t)<------- +
a + b
a + b
е~( a+b)t
Рис. 30. Область значений p,{t), выделяемая неравенством (7.6)
Рис. 31. Иллюстрация того факта, что если начальное условие для вероятности pi(t) меньше стационарной оценки (7.7), то и для любого момента времени эта вероятность также меньше этой стационарной оценки
Рис. 32. Область значений pfi), выделяемая неравенствами (7.10)
Р/0
Таким образом, вероятность интересующего нас /-го состояния может быть всегда оценена сверху [Венедиктов, Шинкарев, 1979]:
т
+
л го;-
т
-( т+кц )t
(7.6)
т + ки
где Pi(0) —значение вероятности /-го состояния в нулевой момент времени; т = max к ^—максимальная из констант скорости
«притока» в данное i-e состояние; ки =^ку.

Это и есть искомое неравенство для вероятности отдельного состояния. На рис. 30 заштрихована область, выделяемая неравенством (7.6).
Из неравенства (7.6) вытекает, что стационарная вероятность /-го состояния (t—>oo)
р>-~Ъг (7'7)
т+кц
всегда меньше единицы и стремится к нулю при увеличении отношения суммы всех констант скорости перехода из данного i-ao состояния к максимальной из констант скорости перехода в это состояние. При этом если вероятность pt в начальный момент
времени t — 0 не превосходит величины стационарной оценки: то она меньше этой величины и в любой
m + kitJ
момент времени t (рис. 31):
Pi(t)<-^— (7.8)
т + ки
Далее видно, что скорость стремления к стационарной оценке согласно формуле (7.6) зависит от суммы величин т и кц, в то время как сама величина оценки зависит от их отношения. Следовательно, увеличение всех констант скорости в одно и то же число раз не изменит величины стационарной оценки, однако увеличит скорость стремления к ней, что эквивалентно соответствующему изменению масштаба времени. Из вида стационарной оценки (7.7) следует, что вероятность /-го состояния мала тогда, когда велико отношение кц/ т, т. е. когда сумма всех констант скорости «оттока» из данного состояния существенно больше», чем максимальная из констант скорости «притока» в это состояние. Значит, малую величину вероятности состояния можно обеспечить либо уменьшением максимальной из констант скорости перехода комплекса в данное состояние, либо увеличением констант скорости перехода из выделенного состояния во все другие состояния комплекса.
Аналогично тому как была получена верхняя оценка для вероятности /-го состояния, но не используя условие нормировки, можно получить экспоненциальную оценку:
Pi(O^Pi(0)e~hiit. (7.9)
Таким образом, для вероятности /-го состояния комплекса имеем
е-<т+к«>‘1 (7.10)
р,(0)е к“‘ < р,(t) < — +
т + к„
Pt(0)~ т
Неравенство (7.10) является основным во всех дальнейших приложениях. Ширина «коридора» А, внутри которого находится вероятность рассматриваемого состояния, зависит как от отношения т/кц, так и от начальных условий для этой вероятности:
А = —— (l-e~<m*kll>,)+ Р;(0)(е-<т+к«)< -(7.11) т + ки
Следовательно, при т/кц —>0 ширина «коридора» А стремится к нулю, и в этом случае имеется практически точная информация о поведении вероятности рассматриваемого состояния. На рис. 32 показано, как выведенные неравенства могут быть использованы для оценки вероятности /-го состояния.
Рассмотрим несколько примеров применения выведенных неравенств. 1. Пусть граф состояний имеет вид: —100 у о —Для
(1)
вероятности первого состояния, согласно формуле (7.10) можно
Мы видим, что стационарная оценка в данном случае является неэффективной. Это значит, что, используя локальный подход, когда вероятность интересующего нас состояния оценивается исходя лишь из уравнения для этого состояния, а в самой оценке фигурируют лишь константы скорости «притока» и «оттока» для данного состояния, нельзя рассчитывать на то, что верхняя оценка даст значение, близкое к истинному. Она может лишь указать тот предельный уровень, выше которого стационарная заселенность данного состояния быть не может. Совершенно очевидно, что если стационарная вероятность состояния, переходящего в первое состояние с константой скорости 100, равна нулю, то и вероятность первого состояния также равна нулю. 2. Пусть граф
состоянии комплекса имеет вид: —» о —100 > Для вероятности
Предыдущая << 1 .. 55 56 57 58 59 60 < 61 > 62 63 64 65 66 67 .. 136 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed