Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Рубин А.Б. -> "Транспорт электронов в биологических системах " -> 56

Транспорт электронов в биологических системах - Рубин А.Б.

Рубин А.Б., Шинкарев В.П. Транспорт электронов в биологических системах — М.: Наука, 1984. — 321 c.
Скачать (прямая ссылка): transportelektronov1984.djvu
Предыдущая << 1 .. 50 51 52 53 54 55 < 56 > 57 58 59 60 61 62 .. 136 >> Следующая

Заметим, что через введенные величины принцип детального равновесия можно записать в виде
bijPj bjiPi- (6.58)
Для доказательства действительности и неположительности характеристических чисел подставим в систему уравнений (6.56)
искомое решение в виде pt = ate где at и Л — постоянные,
требующие определения. После сокращения левой и правой
части на e~Xt получим
"Zbijaj =~Яа1 (6-59)
j*i
С учетом формулы (6.57) это равенство можно переписать также в виде
“ Hbjl °i = “ bjia>) = ~ Яа1- (6'6°)
j*i \j*i j j
Умножив и разделив каждый член этого равенства на значение стационарной вероятности (pi>0), получим следующее соотношение:
YXkjPjaj/p,-bj,p,at/p,)=
_ а (6 61)
= 'ZbtjPj(aj/Pj ~ai1 Pi) =-*Pi=--
i Pi
ны byPj и bjipi равны друг другу. Обозначим для краткости
cr=b,jPj = bjtPt = Cq, РГ= a,/р, (6.62)
равенство (6.61) можно записать в виде ?с,у(/?;-д)=-ф,а. (6.63)
j
Умножив каждое уравнение (6.63) на соответствующую комплексно сопряженную величину Д* и сложив все уравнения, получим
? !>>/-?>/ = -а?д|Д|2. (6.64)
i,j=1 j i=1
Поменяв немые индексы в левой части полученного уравнения и воспользовавшись симметричностью матрицы С
(Cij =Cji), ПОЛУЧИМ
? 2>„(a- Pj)p)=-а?л|д|2. (6.65)
i,j=1 j i=1
Сложив соотношения (6.64) и (6.65), несложно найти для величины Л следующее выражение:
Y.CiiiPi-PiKP'i-P]) I Ci\Pi~fijf
& = —-----------------------= LtL„-----------' (6'66>
Za |Д|2 Za|A|2
i=1 x=l
Числитель и знаменатель этого выражения — действительные и неотрицательные числа, отсюда следует, что величина X — вещественная и неотрицательная. Заметим, что если не интересоваться численным значением собственных значений, то вещественность собственных значений можно доказать значительно проще [см., например: Жаботинский, 1974]. Для этого достаточно показать, что матрица переходов системы уравнений (6.56) подобна некоторой симметричной матрице S. Так как все собственные значения вещественной симметричной матрицы являются вещественными числами, а собственные числа подобных матриц равны друг другу, то собственные значения матрицы В также будут вещественными числами. В силу принципа детального равновесия матрица G - BD является симметричной матрицей, где D — диагональная матрица равновесных (стационарных) значений
{^}ц =pAj-
Действительно, ее элементы, находящиеся симметрично относительно главной диагонали, в силу принципа детального равновесия равны друг другу:
&ij ~ ^ijP j ~ bjiPi ~ &ji ‘ (6.67)
Выберем матрицу S, о которой говорилось выше следующим образом. Умножив равенство G - BD слева и справа на матрицу -1/2 \ _ 1
{°‘
lv = ^S,J
имеем
_I I _1 I D 2GD2 = D 2BD2 (6.68)
Обозначая левую часть этого равенства через матрицу S,
_\_
S = D 2BD2 откуда
I Л
В = D2SD 2 (6.69)
но это и означает, что матрица В подобна симметричной матрице S. Уже отсюда можно сделать вывод, что собственные значения матрицы В — отрицательные (неположительные), поскольку в противном случае величины pt(t) описывались бы выражением, которое стремится к оо при увеличении времени, что невозможно.
Согласно результатам, полученным в данной главе, величину 1пр{, можно отождествить с энтропией комплекса. Дан-
i
ный параграф посвящен рассмотрению свойств энтропии, определенной этой формулой с целью подтверждения согласованности этого определения со свойствами энтропии, известными из феноменологической термодинамики.
Прежде всего несложно убедиться, что энтропия — величина вещественная и неотрицательная, причем минимальное значение, равное нулю, она принимает только тогда, когда вероятность одного из состояний комплекса равна единице.
Более сложно доказать, что свое максимальное значение энтропия принимает только для случая, когда вероятности всех состояний комплекса равны друг другу. Для доказательства этого факта [Боровков, 1976] рассмотрим функцию f(x)=xln(x) на
отрезке [0, 1 ]. Несложно убедиться, что на этом отрезке функция f(x) выпукла вниз, следовательно, по определению выпуклой
п
функции для любых qt >0 таких, что = 1 и для хг >0
i=1
выполняется неравенство / ^
V*'=l ) х=1
Полагая в этом соотношении qt —1/п, xt— получим
(i Wl 1
~Y,Pi ln ~Y,Pi - lL-PilnPi’
П i ) \П i ) i П (6.71)
Предыдущая << 1 .. 50 51 52 53 54 55 < 56 > 57 58 59 60 61 62 .. 136 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed