Транспорт электронов в биологических системах - Рубин А.Б.
Скачать (прямая ссылка):
Г 1, если в момент времени t комплекс находится в состоянии к
О, если комплекс в момент времени t не находится в этом состоянии.
§к(0= -<
Тогда отношение (i/r)J^k(t)dt есть среднее относительное время
о
пребывания комплекса в состоянии к за промежуток времени (О, Т). Стационарную вероятность рК застать комплекс в состоянии к можно понимать в том смысле, что [Хинчин, 1963]
(i/r)j4(t)dt
о
Записанный знак « означает, что рассматриваемые величины не тождественны друг с другом, а лишь вероятность больших отклонений стремится к нулю при Т —>оо. Иными словами, как бы мало ни было ?>0,
Рк
lim
t->00
(
> Б
—> 0 при Т7—>со.
Pk -a/T)\dk(t)dt
о
Предположим, что условия однородности и транзитивности для рассматриваемого комплекса выполнены. Возникает вопрос, как найти предельные вероятности? Уже указывалось, что в рассматриваемых предположениях существует предел (2.61) вероятностей состояний рк = limpk(t). Отсюда следует, что правые
t—> 00
части системы уравнений Колмогорова (2.41) при t—>со также
имеют конечные пределы, а, следовательно, и левые части стремятся к конечным пределам при t—>°о. Но такой предел может быть только нулем, поскольку в противном случае модуль соответствующих вероятностей был бы неограничен. Таким образом, мы приходим к выводу, что в системе дифференциальных уравнений Колмогорова (dpk/dt) —» 0, при t —>go (fc= 1,..., п).
Вследствие этого в пределе, при t—>°о, для определения стационарных вероятностей имеем систему алгебраических уравнений, получающуюся из соответствующей системы дифференциальных уравнений (2.41) приравниванием нулю производных в левой части
п
о= H(Pjajk ~Pkakj)= X Pj^jk -PkT 4j 7=1 j*k j*k
Эта система алгебраических уравнений вместе с нормировочным
п
условием YuPk ~ 1 может служить для однозначного
к=1
определения искомых чисел р
Рассмотрим пример вычисления стационарных вероятностей.
к\ к2 к3 кп_х
1 -> 2 -> 3-» ... -» и (2 64)
кп I
Здесь для простоты обозначений не используются двойные индексы для нумерации плотностей вероятностей перехода &г. Найдем стационарные вероятности. Запишем систему дифференциальных уравнений Колмогорова согласно правилу (2.55):
dpx/dt = pnkn - Р\кх
.......................... (2.65)
dpjdt = рпЛкпЛ - рпкп
Приравняв все производные нулю, получим следующую систему алгебраических уравнений для определения стационарных вероятностей:
РпК ~Р\к 1 =°
.......................... (2.66)
Рп-\К-\~Рпкп =0 Из системы уравнений (2.66) вытекает, что к{р{ =kjPj, (1 <z,
j <ri). В частности, для любого у'-го состояния можно записать
рг- =(kl/kj)pl, у—1,2,..., п. (2.67)
Подставляя (2.67) в условие нормировки р\ + /72+.. • + Ръ =1, получим kiPi(\/ki +1 /к2 +... +1 /кп) = 1. Откуда
рг = (l/ki)/(l/ki + \/к2+... + \/кп)
(2.68)
С учетом выражения (2.67) легко получить аналогичное соотношение и для вероятностей других состояний:
В силу указанной выше интерпретации стационарных вероятностей как средних относительных времен пребывания комплекса в соответствующих состояниях соотношение (2.69) можно представить в виде
где т/ — среднее время пребывания комплекса ву'-м состоянии.
В данной главе показано, что переходы между ферментными формами мультиферментного комплекса могут рассматриваться как марковский процесс с конечным числом состояний и непрерывным временем [см. также: Стефанов, 1975]. Учет этого обстоятельства позволяет при анализе функционирования мульти-ферментных комплексов использовать методы теории вероятностей и случайных процессов. Кроме того, вероятностная интерпретация функционирования ферментов дает возможность в ряде случаев получить необходимые соотношения, пользуясь простыми вероятностными соображениями.
Выбранная нами точка зрения на мультиферментный комплекс как на совокупность взаимодействующих центров, каждый из которых может находиться в конечном числе состояний, позволяет охватить чрезвычайно большой класс процессов, таких, как обычный ферментативный катализ, адсорбцию, окислительновосстановительные реакции, эстафетный транспорт ионов [см., например: Маркин, Чизмаджев, 1974; Hill, 1976; Чизмаджев, Айтьян, 1982] и др. Состояния отдельных ферментов, входящих в комплекс, трактуются обобщенным образом. Это могут быть окисленные или восстановленные, протонированные или депро-тонированные состояния, а также состояния, отличающиеся наличием субстрата, ингибитора и др. Важно отметить, что если для всех указанных типов процессов исходные уравнения (относительно вероятностей различных состояний комплекса) имеют по существу идентичный вид, то величины, которые необходимо определить из этой системы уравнений для сравнения с экспериментом, различны для каждого класса процессов. Так, для ферментативной реакции, как правило, интересуются скоростью реакции, для транспорта ионов — потоком ионов, а для переноса
