Транспорт электронов в биологических системах - Рубин А.Б.
Скачать (прямая ссылка):
На этой схеме стрелками указаны возможные переходы комплекса из одного в другое. Рядом со стрелками приведены соответствующие плотности вероятностей переходов. В случае нулевых плотностей вероятностей перехода соответствующие переходы не указаны. Согласно этой схеме комплекс из первого состояния, в
котором оба фермента свободны (Е^Е^), может перейти в третье
состояние (е}е2), в котором первый фермент занят, а второй свободен с плотностью вероятности перехода а и; из второго состояния комплекс может перейти в первое и четвертые состояния соответственно с плотностями вероятностей перехода Я21 и (124 И Т. Д.
Отметим, что с точки зрения химической кинетики плотности вероятностей перехода есть (псевдо) мономолекулярные константы скорости соответствующих переходов. Как найти вероятность Pi(t) того, что комплекс двух ферментов находится в i-м состоянии в момент времени ft Для вывода уравнений, описывающих временное поведение вероятностей Pi{t), поступим следующим образом. Фиксируем момент времени t и рассмотрим сначала вероятность того, что в момент времени t+ At комплекс находится в первом состоянии. Находиться в этом состоянии в момент времени t+ At комплекс может только при условии если (рис. 19, справа):
1. В предшествующий момент времени t комплекс уже находился в первом состоянии и за время At не вышел из него.
2. В предшествующий момент времени t комплекс был во втором состоянии, а затем за время At перешел из него в первое состояние.
3. В предшествующий момент времени t комплекс был в третьем состоянии, а за время At перешел в первое состояние.
4. В предшествующий момент времени t комплекс был в состоянии (4), а за время At перешел из него в первое состояние.
Таким образом, событие, состоящее в том, что комплекс находится в момент времени t+ At в первом состоянии (?,,+ At — 1), можно представить как сумму перечисленных выше четырех не-
Рис. 19. К выводу системы Колмогорова для комплекса Ао_уЛ ферментов
1+А Время
3 Заказ № 4821
65
совместных событий:
&+* = l)=fe= 1, W = 1)+...+ & = 4,^* = 1). (2.51)
Следовательно, в силу аддитивного свойства вероятности можно записать:
т+м = V = IPtft = i, <?,+д, = V. (2-52)
i=l
Но вероятность P(^t = i, ^t+At = U того? что в моменты времени ?
и t+ At комплекс находится и в i-м и в первом состояниях, можно представить через условную вероятность в следующем виде: Р(4, = i, =V = Р(4, = W6+* = 1 / 4, =i)=Р,№,№ (2.53)
В силу выражения (2.32) для величин плотностей вероятностей перехода имеем следующие соотношения:
Pn(At) = \
1_(Z aik)At + o(At)
к
anAt + o(At)
если i = 1, если i ф1 (2.54)
С учетом последнего соотношения равенство (2.52) можно пере-
pl(t + At) = '?pi(t)anAt +
i=2
+ Р\Ш ~ («12 + «13 + «14 )А*] + °(Л0
Перенося pi(0) в левую сторону равенства, деля обе части соотношения на At и переходя к пределу At —>0, получим, учитывая, что на схеме (2.50) ненулевыми
ЯВЛЯЮТСЯ ЛИШЬ Я21 и а\ъ.
dp\ldt=p2(i2\—р\ап. Аналогичным образом могут быть получены и уравнения для вероятностей остальных состояний:
dp2 /dt = ръаъ2 - р2(а2] +а24)
Фз/dt = Р\а\ъ +^4«43 ~Ръаъ2 dpAldt = р2а24-р4а43
Сравнивая полученные уравнения и схему (2.50), можно заметить, что между схемой и системой дифференциальных уравнений существует тесная связь, которая позволяет исходя из схемы сразу выписывать систему дифференциальных уравнений. Правило, по которому исходя из схемы (графа) можно выписать дифференциальные уравнения Колмогорова для вероятностей
т
Рис. 20. К формулировке правила записи системы дифференциальных уравнений Колмогорова
состояний, можно сформулировать для любой цепи Маркова с непрерывным временем и конечным числом состояний [Вентцель, 1973]. Правило написания дифференциальных уравнений можно сформулировать следующим образом. В правой части дифференциального уравнения для к-то состояния со знаком плюс стоит столько членов, сколько на графе стрелок ведет в данное состояние, а со знаком минус стоит столько членов, сколько стрелок ведет из данного состояния. Каждый член в правой части уравнения независимо от знака имеет вид произведения вероятности того состояния откуда идет стрелка на величину соответствующей плотности переходной вероятности. Так, для схемы, представленной на рис. 20, уравнение для
dpk/dt = ptaik +... + pjajk - ркак1 -... - ркаы, к = 1,2
(2.55)
2.9. Собственные значения матрицы коэффициентов уравнений Колмогорова
Как известно [Еругин, 1979], решение системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами всегда может быть записано в виде линейной комбинации выражений вида Q(t)eXt, где X — собственные значения матрицы коэффициентов этой системы дифференциальных уравнений, а Q(t)—некоторые полиномы переменной t. Ниже показано, что собственные значения матрицы коэффициентов системы дифференциальных уравнений (2.41) имеют неположительную действительную часть. Локализацию собственных значений матрицы А в формуле (2.40) дает доказываемая ниже теорема Гершгорина [Сарымсаков, 1954; Маркус, Минк, 1972; Ланкастер, 1978], согласно которой собственные значения произвольной матрицы С= (Cij) лежат, по крайней мере, в одном из кругов с центрами с,-,-
