Принцип оптимальности в биологии - Розен Р.
Скачать (прямая ссылка):
Множество допустимых решений представляет собой, таким образом, пятиугольник (заштрихован на фиг. 33), ограниченный осями х\ и х2 и линиями (12.4), (12.5).
Теперь решение задачи сводится просто к тому, чтобы определить, какие точки (хи х2) из пространства решений максимизируют оценочную функцию, т. е. прибыль р(хь х2), выражаемую формулой (12.1). Прежде всего вполне очевидно, что точка, являющаяся решением, должна лежать на границе простран-
^11^1 ~Ь &\2Х2------R.]
(12.4)
^21^1 ~Ь ^22^2 — ^?2>
~Ь Q-32X2 = Яз-
(12.5)
ства решений. В самом деле, если бы решением была какая-то внутренняя точка (*i*, *2*), то можно было бы тотчас же применить теорему 2.6, и тогда, согласно (12.1),
др
дхх
:/>1 = 0 =р2
др
дх2
х^ — х
Х2 = Х,
а это противоречит первоначальному предположи .ю, что р\, Р2 не обращаются одновременно в нуль. Далее нетрудно пока-
Ось X»
t
(I г0)
Ось х,
зать, что искомое решение должно в действительности совпадать с одной из вершин пятиугольника, т. е. с одной из точек 0, Рь Рг, Рз, Ра, изображенных на фиг. 33.
Упражнение
Докажите последнее утверждение. (Указание: предположите, что величины прибыли р различны в двух вершинах, и по-. кажите, что тогда прибыль монотонно изменяется при перемещении в ту или иную сторону вдоль прямой, соединяющей эти две вершины.)
Приведенные выше рассуждения переносятся без существенных изменений на случай любого числа товаров s,.
Совершенно аналогичная ситуация возникает во многих других экономических проблемах, например в транспортных задачах (см. [117], гл. 10), в задачах о распределении и назначении
персонала (см. [117], стр. 152—154) и многих других1. Каждая из этих областей служит источником задач линейного программирования, т. е задач о минимизации линейной оценочной функции при наличии линейных ограничений
Существует много важных задач программирования, не относящихся к линейным, и они не могут быть непосредственно решены с помощью тех методов, которые были здесь намечены. Более того, многие допущения, которые были неявно сделаны при формулировке разобранной выше задачи о программировании, нереальны с точки зрения экономики. Так, например, предполагалось, что прибыли р\, рг постоянны, т. е независимы от времени. Но на самом деле эти величины, так же как и параметры аг], в общем случае зависят от времени и даже подвержены недетерминированным изменениям. Таким образом, предприниматель, встречаясь с задачами программирования, обычно располагает неполной и изменяющейся во времени информацией. К задачам такого типа может быть применен так называемый метод динамического программирования2 Вспомним также, что сходные проблемы встречались нам в разд. 10.4 в связи с задачами совсем иного рода
Поведение предпринимателя, который в ситуации, связанной с применением метода динамического программирования, стремится к максимизации своей прибыли и для этого меняет свой образ действий некоторым оптимальным способом, несомненно аналогично поведению адаптивных систем общего типа, стремящихся избежать отрицательного подкрепления, поступающего из внешней среды. Уже одно это замечание говорит о том, что должны существовать широкие области применения общих методов динамического программирования к задачам, возникающим в теории адаптивных систем. В разработке прямых приложений методов программирования к таким биологическим зада-чамт как задачи теории обучения, сделаны еще только первые шаги3; основные трудности, связанные с этими проблемами, были отмечены в разд. 11 4
Для того чтобы проиллюстрировать, каким образом можно применить простейшие методы программирования для изучения интересных биологических ситуаций, рассмотрим следующую
1 В книге Гасса [117] приведен обширный и удобный обзор литературы по приложениям линейного программирования к широкому классу промышленных, экономических и военных задач (см стр 205—213)
2 Ряд примеров, иллюстрирующих приложение метода динамического программирования к таким задачам, можно найти в литературе (см, например, [120])
3 Применение общих методов динамического программирования для изучения биологических процессов адаптации кратко описано у Беллмана [121]
гипотетическую проблему. Предположим, что бактериальная клетка помещена в среду, содержащую некоторое число, скажем п, различных сахаров sb ..., sn. Пусть при утилизации каждой единичной порции сахара s, (t—1, ..., п) клетка получает энергию, равную Ег кал. С другой стороны, для поглощения этой порции сахара st (t = l, ..., п) из среды (активный перенос), а также для создания и поддержания соответствующего метаболического аппарата клетка должна затратить некоторое количество энергии, скажем Gt кал. Сколько же единичных порций каждого сахара нужно ввести в клетку, чтобы число полученных ею калорий было максимизировано?
