Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Розен Р. -> "Принцип оптимальности в биологии " -> 80

Принцип оптимальности в биологии - Розен Р.

Розен Р. Принцип оптимальности в биологии — М.: Мир, 1969. — 215 c.
Скачать (прямая ссылка): principoptimizaciivbiologii1969.djvu
Предыдущая << 1 .. 74 75 76 77 78 79 < 80 > 81 82 83 84 85 86 .. 87 >> Следующая

Несмотря на отмеченное выше сходство, большая часть математических моделей в экономике была построена независимо от их биологических аналогов. Тем не менее в свете тех общих соображений, которые здесь были высказаны, можно ожидать, что обнаружатся широкие области, в которых экономические модели (по крайней мере, в основных своих принципах) смыкаются с теми общими положениями принципа оптимальности в биологии, которым посвящена данная книга.
Попытаемся теперь продемонстрировать то, что было здесь сказано, хотя, быть может, и в несколько ином аспекте. Успешная конкуренция в некоторой экономической ситуации требует максимизации прибыли (мы будем понимать под прибылью попросту разность между затратами, связанными с получением или изготовлением товаров для продажи, и ценой, по которой эти товары будут проданы). В общем случае предприниматель вначале располагает некоторым количеством различных видов сырья, из которых могут быть изготовлены разнообразные товары. Следовательно, для того чтобы наиболее эффективно участвовать в конкуренции, предприниматель должен решить проблему наилучшего распределения принадлежащего ему сырья с тем, чтобы изготовленные из него товары давали наибольшую прибыль. Задачи такого типа, возникающие во многих областях экономики и смежных с ней наук, называют обычно задачами программирования. Естественно, что такие
задачи были весьма тщательно исследованы. Для нас представляет определенный интерес более подробное изучение этих проблем; читатель заметит, конечно, много точек соприкосновения между этими задачами и теми вопросами, которые мы обсуждали раньше.
Допустим, что имеется фабрика, которая может производить два вида различных товаров, скажем Si, s2, изготовляемых из трех видов сырья: г\, г2, г3. Пусть известно, что прибыли, получаемые от продажи единиц товаров sb s2, равны соответственно р 1, р2 (как было сказано выше, прибыль принимается равной разности между стоимостью производства товара и продажной ценой). Предположим далее, что для производства одной единицы товара s,(j—1,2) требуется затратить a,-3(t= 1,2,3; /= 1, 2) единиц сырья гг(1= 1, 2, 3) и что фабрика располагает запасом в Яг (?=1, 2, 3) единиц сырья гг (i=l, 2, 3).
Владелец фабрики должен теперь решить, сколько единиц Хи Хг товаров Si- s2 соответственно должно быть произведено, для того Чтобы максимизировать прибыль. В данном случае прибыль р(х 1, х2) определяется простым линейным выражением вида
р(хj, х2) = рххх + р2х2. (12.1)
Теперь следует отметить, что решение (хи х2) этой задачи должно удовлетворять ряду ограничений. Так, например, нельзя использовать больше сырья, чем в данный момент имеется на складе, и поэтому должны выполняться неравенства
^11-^1 “Н 0'\2Х2 ^ Rt,
a2lxlAra22x2^R2, (12.2)
<*31*1 “I- ®з2х2 ^ Rs •
Далее, мы имеем неравенства
*,>0, х2^0, (12.3)
и, наконец, важное условие заключается в том, ^то pi, р2 не равны одновременно нулю.
Сформулированная только что задача принадлежит к задачам линейного программирования, так как неизвестные величины хи х2 в каждое из соотношений этой задачи [а именно, (12.1) —
(12.3)] входят линейно, т. е. в первой степени. Такие линейные
задачи лучше всего изучены и обычно наиболее доступны иссле-
дованию '.
1 Имеется несколько превосходных руководств по теории и приложениям метода линейного программирования, в частности [117—119]
Следует сравнить формулировку этой задачи с общей формулировкой проблем оптимальности, приведенной в гл. 1 и 2. Как отмечалось, постановка всякой задачи об оптимизации включает выбор оценочной функции, заданной на корректно определенном пространстве допустимых решений, которая должна быть минимизирована (или, как в данном случае, максимизирована). В нашем случае оценочная функция задается в явном виде формулой (12.1); обратимся теперь поэтому к пространству решений.
Неравенство х2^ 0 показывает, что всякое возможное решение (х\, х2) этой задачи представляется точкой на {хи х2) -плоскости, лежащей не ниже оси х\ (т. е. линии лг2=0). Аналогично неравенство Х\ ^ 0 говорит о том, что каждое допустимое решение (*i, х2) должно лежать не левее оси х2 (линия Xj=0). Следовательно, все допустимые решения расположены в первом квадранте (xlt х2) -плоскости.
Заметим далее, что прямая линия
(при условии а\2Ф0) разбивает (лгь *2)-плоскость на две полуплоскости так, что для всех точек (хи х2), расположенных выше этой линии, имеет место неравенство a\\X\ + ax2x2>R\, а для точек, лежащих ниже этой линии или на ней, а\\х\ + апх2 ^R\. Итак, все точки (хи х2), удовлетворяющие первому из неравенств (12.2), должны лежать на прямой (12.4) или ниже ее. Если эта линия лежит вне первого квадранта (х\, х2)-плоскости, то, очевидно, поставленная задача не имеет решения. Мы, напротив, предположим, что линия (12.4) проходит через первый квадрант.
Аналогично остальные два неравенства (12.2) ограничивают пространство (множество) решений теми точками (*i, х2), которые расположены в полуплоскостях, лежащих соответственно не выше прямых
Предыдущая << 1 .. 74 75 76 77 78 79 < 80 > 81 82 83 84 85 86 .. 87 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed