Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Розен Р. -> "Принцип оптимальности в биологии " -> 69

Принцип оптимальности в биологии - Розен Р.

Розен Р. Принцип оптимальности в биологии — М.: Мир, 1969. — 215 c.
Скачать (прямая ссылка): principoptimizaciivbiologii1969.djvu
Предыдущая << 1 .. 63 64 65 66 67 68 < 69 > 70 71 72 73 74 75 .. 87 >> Следующая

Для того чтобы записать нужные нам выражения в явном виде, обозначим через xu(t, х0, t0) то решение уравнения (10.1), которое удовлетворяет заданному начальному условию xu(to)—Xo (где Хо — это начальное состояние), а через хх обозначим заданное конечное состояние, которое система должна принять в конечный момент времени t\. Тогда с учетом замечаний, сделанных в разд. 10.4, наиболее общая форма оценочной функции должна иметь вид
и
*0. to), *i) + J -«0. *o). я(0. 0Л. (10.3)
и
где первое слагаемое — функция L\ — характеризует отклонение того состояния системы, которое она принимает при выбранном управлении и(t) в момент t\, от заданного конечного состояния хи а второе слагаемое есть интеграл, с помощью которого в общем виде оценивается в целом движение системы от начального до конечного момента времени. Такое представление оценочной функции в виде двух слагаемых должно напомнить читателю те двухчленные оценочные функции, с которыми мы встречались раньше (см. разд. 1.4 и 3.3). Как и в ранее рассмотренных случаях, может оказаться (и обычно это так и бывает), что оптимальное решение не оптимизирует каждое слагаемое в отдельности.
Определенная выше оценочная функция представляет собой функционал, определенный на множестве допустимых управлений и(t). Управление u(t), минимизирующее этот функционал, и будет оптимальным управлением по отношению к этому функционалу. На практике иногда оказывается, что вклад, вносимый первым членом, сравнительно мал по отношению к величине второго, интегрального члена, и тогда проблема минимизации всего функционала сводится к минимизации одного только интеграла. Обратим внимание на то, что этот интеграл имеет вид
Задача минимизации такого интеграла в высшей степени напоминает обычную задачу вариационного исчисления, которая относится к интегралу вида
Основное различие между этими двумя интегралами состоит в том, что в первом из них фигурирует управление «(?)> а не производная x'(t). Как будет показано в разд. 10.6, с теоретической точки зрения это различие не так уж велико. Однако в практическом отношении это (как и ряд других отличий от классических задач вариационного исчисления) приводит к необходимости развития некоторых новых и более сильных методов исследования. Эти новые методы, в теоретическом плане в той или иной степени эквивалентные друг другу, представляют собой обобщение классического вариационного исчисления на более широкий круг новых задач.
j L(t, x(t), x'{t))dt.
Наиболее, пожалуй, известными из этих методов являются принцип максимума Понтрягина [96] и метод динамического программирования, развитый Веллманом [97, 98]. В этих методах используется и обобщается тот факт (известный из классического вариационного исчисления), что всякий отрезок стационарной кривой сам по себе тоже является некоторой стационарной кривой. Однако подробное обсуждение этих вопросов выходит за рамки данной книги, и по этому поводу мы отсылаем читателя к цитированной выше литературе и другим обзорам по этим проблемам, появившимся за последнее время Отметим здесь, однако, что возможность применить методы теории оптимального управления к широкому классу внешне совершенно различных проблем позволяет взглянуть на эти разнообразные проблемы с некоторой единой точки зрения (ср. с замечанием Голдстейна на стр. 16). Как будет показано в гл. И и 12, эти соображения позволяют связать друг с другом ряд важных областей теоретической .биологии, на первый взгляд не имеющих друг к другу прямого отношения2.
10.6. Обратная связь
В гл. 8 мы рассматривали понятие обратной связи, изучая теорию систем, описываемых зависимостью между их входными и.выходными сигналами. В этом разделе мы покажем, каким образом обратная связь проявляется в задачах теории оптимального управления динамическими системами.
Если дана некоторая динамическая система, которая должна служить в качестве системы регулирования или следящей системы, то траектория этой динамической системы в фазовом пространстве будет, очевидно, зависеть соответственно от задающего сигнала или сигнала возмущения, поступающих из внешней среды. В технических задачах нам известно обычно состояние среды тфнько в данный момент времени и в прошлом, а то, что может случиться в будущем, как - правило, совершенно неизвестно. Поэтому в общем случае не всегда возможно априори определить конкретное управление u(t), которое
1 См, например, интересную статью Дрейфуса [99], полезно сравнить ее с работой Каямана [93]
2 Рекомендуем читателю недавнюю работу Гудвина [100] По-видимому, те идеи, о которых говорилось в этой главе, мог„ут быть положены в основу ряда унифицирующих концепций в теоретической биологии Подход Гудвина представляет по крайней мере одно из направлений, в которых могли бы раз рабатываться эти идеи Отправным пунктом в этой работе является описание разнообразных регуйяторных процессов, протекающих в клетке, о которых мы говорили в разд 9 5, в основном в тех математических терминах, которые разрабатывались в гл 8
Предыдущая << 1 .. 63 64 65 66 67 68 < 69 > 70 71 72 73 74 75 .. 87 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed