Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Розен Р. -> "Принцип оптимальности в биологии " -> 68

Принцип оптимальности в биологии - Розен Р.

Розен Р. Принцип оптимальности в биологии — М.: Мир, 1969. — 215 c.
Скачать (прямая ссылка): principoptimizaciivbiologii1969.djvu
Предыдущая << 1 .. 62 63 64 65 66 67 < 68 > 69 70 71 72 73 74 .. 87 >> Следующая

x'{t) = Ax(t) + Bu{t), (10.1)
где коэффициенты А, В являются в общем случае функциями времени t. Допустим, что за выходной сйгнал принят некоторый параметр y(t), и предположим, что x(t) и y(t) связаны соотношением вида
y(t) = Cx(t), (10.2)
где С в общем случае также является функцией t. Соотношения
(10.1) и (10.2) вместе полностью определяют рассматриваемую систему; за входной сигнал здесь принимается u(t), а за выходной — y{t).
В предыдущих главах, где системы рассматривались с точки зрения зависимости между их входными и выходными сигналами, было введено понятие передаточной функции. Поэтому, для того чтобы описать поведение рассматриваемой динамической системы с помощью зависимости между ее выходным сигналом y(t) и входным сигналом u(t), нужно построить соответствующую передаточную функцию. Формально, как и раньше, ее можно определить как отношение преобразования Лапласа y(t) к преобразованию Лапласа u(t). Можно также приложить к системе единичный импульс u(t)—6(t), и тогда результирующий выходной сигнал y(t) должен в соответствии с (8.9) как
раз равняться обратному преобразованию Лапласа H(t) от передаточной функции системы. Для произвольного входного сигнала u(t) соотношение, определяющее соответствующий выходной сигнал y(t), выражается формулой
Наиболее интересный вопрос состоит здесь в том, чтобы выяснить связь между определенной только что передаточной функцией и структурой той абстрактной динамической системы, которая соответствует в указанном выше смысле этой функции. Как уже отмечалось ранее, общее представление о системах, характеризуемых сигналами на их входах и выходах, находится на более высоком уровне абстракции, чем понятие динамической системы; в общем случае существует множество различных абстрактных динамических систем, обладающих одной и той же передаточной функцией, но существенно отличающихся друг от друга в их индивидуальном поведении. Однако по поводу деталей, касающихся «реализации» системы с заданной передаточной функцией в виде конкретной динамической системы, читатель должен обратиться к специальной литературе; наиболее интересны в этом отношении цитированные выше статьи Кал-мана и сотрудников (в особенности [94, 95]). При изучении этих вопросов следует также иметь в виду материал разд. 11.1.
Заметим, что абстрактную линейную динамическую систему вида (10.1) можно в определенном смысле считать функционалом, зависящим от управляющей функции u(t). Действительно, каждая конкретная управляющая функция u(t) выделяет некоторую определенную систему типа (10.1), и каждая такая система порождает свое собственное семейство траекторий (при этом всякому заданному начальному состоянию отвечает единственная траектория). Будем считать, что все эти семейства траекторий вложены в одно и то же общее фазовое пространство, так как вариация управляющей функции не вносит новых степеней свободы.
Что же понимается под оптимальным управлением? Если вспоминать то, что было сказано ранее относительно задач об оптимизации, то очевидно, что в данном случае для постановки такой задачи должны выполняться два условия: 1) должно быть определено семейство допустимых систем, каждая из которых обнаруживает заданный тип поведения; 2) должна быть указана
т
о
10.5. Оптимальное управление
некоторая величина, характеризующая свойства каждой из этих систем; ее значения принимаются за значения оценочной функции (функционала), и эта функция должна быть минимизирована соответствующим выбором оптимальной системы. Примем за рассматриваемое семейство допустимых систем совокупность динамических систем вида (10.1); тем самым первое условие будет выполнено. Для выполнения второго условия остается лишь задать некоторым образом функционал, определенный на множестве допустимых управлений u(t).
В конкретных приложениях теории оптимального управления оценочную функцию выбирают обычно в виде функционала того частного вида, который мы ранее рассматривали, т. е. в виде функционала, выражающегося интегралом от некоторого ядра. В большинстве таких приложений ставится задача о переходе динамической системы из некоторого заданного начального состояния в некоторое заданное конечное состояние, соответствующее какому-то конечному моменту времени t\. Для осуществления такого движения класс допустимых управлений u(t) должен состоять из таких функций u(t), для каждой из которых точки, соответствующие начальному и конечному состояниям, лежат на одной и той же траектории (на практике обычно бывает достаточно, чтобы точка, определяющая конечное состояние, лежала достаточно близко к рассматриваемой траектории). Каждое конкретное движение системы, определяемое некоторой управляющей функцией u(t) из описанного выше класса, можно теперь оценить с помощью двух критериев, каждый из которых следует принимать во внимание при постановке задачи о выборе оптимального управления: первый критерий связан с величиной, оценивающей отклонение конечного состояния системы от требуемого, а^рторой — с величиной, оценивающей в целом движение системы от начального до конечного состояния. В этом смысле оценочная функция должна содержать по крайней мере два слагаемых, соответствующих критериям 1 и 2.
Предыдущая << 1 .. 62 63 64 65 66 67 < 68 > 69 70 71 72 73 74 .. 87 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed