Принцип оптимальности в биологии - Розен Р.
Скачать (прямая ссылка):
Абстрактная теория динамических систем, которая разрабатывается в ряде важных разделов чистой и прикладной математики ', представляет собой, в определенном смысле, обобщение и дальнейшее теоретическое развитие лагранжевского подхода к задачам классической механики. Для иллюстрации этого обстоятельства нам придется сначала ввести некоторые новые понятия из механики.
В разд. 5.2 мы видели, что уравнения Эйлера в общем случае представляют собой дифференциальные уравнения второго пбрядка относительно координат системы. Общее решение системы N таких^равнений содержит поэтому 2N произвольных постоянных. Часто бывает удобно заменить каждое из уравнений второго порядка эйлеровского типа парой уравнений первого порядка. Такой переход к уравнениям первого порядка всегда может быть выполнен некоторым каноническим способом, и мы продемонстрируем это на примере одного уравнения второго лорядка вида y"=f(x, у, у'). Определим новые неизвестные
1 Многие важные разделы современной чистой математики возникли на основе идей теории динамических систем, рассматривавшихся в физике. Источником развития этих современных математических идей послужили работы Пуанкаре [87] и Биркгофа [88] На основе этих исследований возникли современные «глобальные» методы теории дифференциальных уравнений (по поводу литературы см. примечание на стр. 107 в гл. 6), важнейшие представления дифференциальной геометрии и теории непрерывных групп [89], теория вариационного исчисления в целом, которую называют теперь теорией Морса [90], и большая часть представлений эргодической теории и теории отображений с инвариантной мерой (см, например, [91]). Из всех этих исследований выросли в настоящее время самостоятельные математические дисциплины. Теория динамических систем и сейчас продолжает ставить важные проблемы, решение которых несомненно приведет к развитию в будущем новых разделов науки.
функции и, v, полагая и=у nv=y'. Тогда уравнение y"=f{x,y,y') переходит в эквивалентную систему двух уравнений первого порядка вида
и' = V,
v' = f(x, и, V).
В общей системе N уравнений второго порядка эйлеровского типа такой переход означает, что в качестве неизвестных функций системы 2N уравнений первого порядка, эквивалентной исходной системе, выбираются обобщенные координаты Xi(t) (Г= 1, N) и их производные (0 (t'= 1, N). Конкретный
выбор значений 2N произвольных постоянных определяет некоторую начальную точку (х, (*0), ¦.., xN(t0), Xi'(t0), xN'(t0))
в 214-мерном пространстве переменных (хи ..., xN, х/, .. ., xN'), и это приводит к однозначному выбору определенной интегральной траектории x((t), Xi {t)\ i = l, ..., N, соответствующей решению системы, удовлетворяющему этим начальным условиям.
Пространство, элементами которого служат последовательности 2N переменных вида {хи ..., xN, х/, xN'), обычно
называют в механике фазовым пространством данной механической системы, а каждый элемент (хи ..., xN, х/, . .., xN') (точка фазового пространства) называется состоянием этой системы. Если состояние системы известно в каждый момент времени, то это, очевидно, полностью определяет ее поведение, которое и должно быть найдено с помощью уравнений движения. Такой метод описания механической динамической системы с помощью траекторий в фазовом пространстве оказывается очень удобным, и поэтому обычно рассматривают не исходную систему N эйлеровских уравнений второго порядка, а преобразованную систему 2N дифференциальных уравнений первого порядка.
Основные черты описанного выше подхода классической механики к изучению движения механических систем сводятся к следующему:
1. В каждый момент времени с изучаемой системой можно связать некоторый математический объект, называемый состоянием системы в данный момент времени; для механических систем состояние представляется точкой 2Дг-мерного евклидова фазового пространства, где N—число степеней свободы системы.
2. Поведение системы описывается системой уравнений движения (в случае механических систем — 2N уравнений первого порядка), в которой каждое уравнение соответствует одной из координат Х\, ..., xN, х\, ..., xN' фазового пространства.
3. Предполагается, что существует совокупность правил, позволяющих (по крайней мере, теоретически) определить по состоянию системы значение любого из ее параметров.
Законы механики действительно непосредственно приводят к этим трем утверждениям. Можно, однако, поступить иначе и принять положения 1—3 в качестве аксиом. Это приводит к определению нового класса математических объектов, удовлетворяющих этой системе аксиом. Как это обычно бывает в таких случаях/* новая теория, полученная с помощью такого рода обобщения, оказывается значительно богаче, чем начальная частная теория; эта новая теория называется абстрактной теорией динамических систем. Всякая конкретная механическая система порождает, очевидно, некоторую динамическую систему, принадлежащую тому классу, который изучается в абстрактной теории; но существуют также и самые разнообразные системы другого типа, которые также охватываются этой общей теорией. Некоторые из них будут рассмотрены далее.
