Принцип оптимальности в биологии - Розен Р.
Скачать (прямая ссылка):
Что касается стационарных режимов линейной системы, то при их изучении существенны две характерные черты, которые система обнаруживает при реакции на входной сигнал некоторого специфического характера, а именно на гармоническое воздействие вида Acosco/. При этом, с одной стороны, изменяется амплитуда сигнала и это изменение характеризуется коэффициентом усиления системы. С другой стороны, при формировании системой выходного сигнала происходит сдвиг фазы колебаний. И коэффициент усиления, и сдвиг фазы существенно сказываются на устойчивости системы обе эти величины могут быть вычислены с помощью передаточной функции. И обратно, если известны коэффициент усиления и сдвиг фазы линейной системы, то это полностью определяет передаточную функцию: существует целый ряд методов, позволяющих получить явное
=0 при F(/) = 0 (в соответствии с ранее сделанным замечанием предпола-
П
гается, что а0=0). Многочлен можно записать в виде an(s — si)(s—
k=o п
— s2)... (s — sn), где Si — корни уравнения ^ejS^O, Допустим сейчас,
ft=0
что все эти корни различны.
В этом случае нетрудно убедиться в том, что общее решение уравнения (8.1) при F(t)= 0 определяется выражением
y(/)=vM^ + ... + Anesn*
(вывод этой формулы см., например, [19], стр. 66), где Аг — произвольные постоянные. Если в начальный момент t=0 на систему подействует мгновенный импульс, вызывающий начальное смещение (последнее выражается, например, начальным условием у(0) —К-фО), то* система всегда возвращается при t — °° к положению равновесия у—0 в том и только в том случае, если
* при t -*¦ °° общее решение стремится к нулю. Это означает, что каждый член, входящий в общее решение, должен при / -»¦ °о стремиться к нулю.
Корни Sj в общем случае могут быть комплексными. Пусть Sj=a+bi, где
s.t at ibt ibt
a, b —¦ вещественные числа; тогда e 1 =e e . Сомножитель e представляет
в комплексной форме гармонические колебания, и в частности | егЪ‘ | ^ 2 дл*^
s .t
всех t. Таким образом, асимптотическое поведение члена е> полностью определяется вещественной частью а корня sj. Если а>0, то eat стремится к бесконечности при неограниченном возрастании t, и тогда устойчивость невоз-
s .t
можна. При а = 0 выражение е i содержит осциллирующие члены, и поэтому асимптотическая устойчивость в этом случае, вообще говоря, не имеет места. Наконец, если а<0, то eat стремится к нулю при t—> оо . Следовательно, асимптотическая устойчивость в общем случае имеет место лишь при условии, что вещественные части всех корней Sj отрицательны.
1 Выяснение вопроса о влиянии коэффициента усиления и сдвига фазы на устойчивость линейной системы ие очень сложно, но, поскольку этот факт используется далее в разд. 9.2, здесь имеет смысл лишь указать читателю литературу по этому вопросу. Прекрасное изложение этой темы можно найти в книге Арендта и Таллина [61].
выражение для передаточноц функции, если заданы коэффициент усиления и сдвиг фазы.
Передаточные функции позволяют, наконец, легко исследовать также и системы из нескольких звеньев и выяснить, каким образом изменение передаточных функций отдельных звеньев влияет на передаточную функцию всей системы в целом.
8.3. Интегральные уравнения для линейных систем
Отметим здесь еще одну интересную интерпретацию передаточной функции, имеющую самостоятельный теоретический интерес. Один из важнейших методов исследования систем, свойства которых заранее-не известны, состоит в том, что в систему вводится определенный стандартный входной сигнал и рассматриваемся выходной сигнал, характеризующий ее реакцию на это воздействие. Из стандартных входных сигналов такого типа очень часто используется так называемый единичный импульс (точнее, единичная импульсная функция, или б-функция Дирака). По формальному определению эта функция принимает нулевые значения при всех значениях t, кроме значения f=0, где она полагается бесконечной, и вводится также условие нормировки
00
j %(t)dt — \.
— СО
Можно представить себе б-функцию как предел постоянного импульса величины а, имеющего продолжительность 1/а, при а->- оо ; так что в действительности б-фуикция может быть сколько угодно точно аппроксимирована импульсом такого типа.
Допустим теперь, что единичный импульс подается на вход некоторой линейной системы, находившейся до этого в состоянии покоя. Это означает, что в качестве функции F(t) в формулу (8.8) нужно подставить б-функцию б (0- Нетрудно убедиться в том, что
т
L [8(0] = j e~stb(t)dt = 1.
о
Поэтому из (8.8) получается равенство
^(s)-O(s); (8.9
