Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Розен Р. -> "Принцип оптимальности в биологии " -> 51

Принцип оптимальности в биологии - Розен Р.

Розен Р. Принцип оптимальности в биологии — М.: Мир, 1969. — 215 c.
Скачать (прямая ссылка): principoptimizaciivbiologii1969.djvu
Предыдущая << 1 .. 45 46 47 48 49 50 < 51 > 52 53 54 55 56 57 .. 87 >> Следующая

Пусть теперь f(t)—произвольная непрерывная функция и для нее существуют все производные и интегралы, которые нам в дальнейшем потребуются. Обозначим через s новую независимую переменную (в общем случае приходится рассматривать комплексную переменную s) и определим новую функцию tp(s) с помощью следующего соотношения:
оо
<!>(s)= J /(t)e~stdt. (8.2)
о
Функция i|;(s) называется преобразованием Лапласа функции f(t), и соотношение (8.2), определяющее связь между f(t) и
i];(s), обозначают часто с помощью операторной записи
<!>(*) = /. [/(*)]• (8>3)
Оператор L обладает, очевидно, свойством линейности в том смысле, что
L \af{t)-\-bg (01 =aL [f(t)] + bL
где a, b — постоянные числа. Существует также и обратный оператор L-1, определяющий обратное преобразование Лапласа: L~4J[f(t)\ = f(t). Более подробно читатель может ознакомиться
с этим вопросом и с явным выражением для L~x по специальной литературе
Если применить преобразование Лапласа к обеим частям уравнения (8.1), то ввиду линейности оператора L
anL [у<»>] + an_xL [у<«-»]+... + a0L [у] =L (8.4)
Выражение L[y(t)] мы обозначим через r](s), и теперь нужно выразить члены L [yW (f)], k^ 1, через функцию г] (5).
Прежде всего убедимся в том, что L[z/'(?)] = sri(s) + z/(0). Действительно, в соответствии с определением
Отсюда непосредственно получается требуемое соотношение
Используя (8.5), можно по индукции доказать, что в общем случае получается формула
которую нам и нужно было вывести.
Упражнение
Проверьте правильность формулы (8.6).
Возвращаясь теперь к системе (8.1), мы видим, что с помощью формулы (8 6) уравнение (8.4), эквивалентное (8.1), может быть записано в следующем виде:
где Г — некоторый многочлен относительн» переменной 5, коэффициенты которого определяются начальными условиями,
. _____а
1 Существует большое число книг, посвященных преобразованию Лапласа, одни из них относятся к чисто математическому исследованию этого вопроса, Другие предназначены для технических приложений (см, например,
00
L [у'ОО] = J У'е st dt.
о
Интегрируя теперь по частям, мы находим, что
7,(5)= |у(/)е-*Л = --^-у(/) +±L [у'(01-
О О
L [у'(*)] =S7j(s) + y(0).
(8.5)
k
L [у<*>(0] = s*7!(s) — 2 y(*_1)(0)sft-''; k = \,2,...,n, (8.6)
[59, 60])
выбранными для рассматриваемой системы (т. е. числами 'Л0, А\, ..., Ап). Решая это уравнение относительно г) (s), получаем
= {L[F(t)]+T}. (8.7)
2 absk 6 = 0
Решение исходной системы (8.1) можно теперь получить, применяя к обеим частям выражения (8.7) обратное преобразование Лапласа.
Выражение (8.7), полученное для rj (s), представляет собой произведение двух сомножителей. Первый из них — величйна, обратная многочлену, образующемуся при замене в левой части исходного уравнения (8.1) на sh, — называется передаточной функцией рассматриваемой системы. Если, как это часто бывает в прикладных задачах, начальные значения выбраны так, что постоянные А{ равны нулю, то многочлен Г тоже равен нулю и (8.7) принимает вид
4(s) = —1----------------------------L[F(t)]. (8.8)
2
При этих условиях передаточная функция, которую мы обозначим через G (5), попросту равна отношению преобразования Лапласа выходного сигнала к преобразованию Лапласа входной функции. Таким образом, ясно, что передаточная функция представляет собой выражение, на которое нужно умножить преобразование Лапласа входной функции F(t), чтобы получить преобразование Лапласа выходного сигнала.
Важное значение передаточной функции заключается в том, что в принципе она позволяет получить полную информацию о соотношении между входным и выходным сигналами системы, для которой она найдена, и, следовательно, о поведении системы. С ее помощью можно, например, получить полную информацию относительно устойчивости системы (в технических приложениях в вопросах устойчивости обычно интересуются устойчивостью тривиального решения у = 0 уравнения (8.1) при F(t) = = 0). Нетрудно показать, что устойчивость имеет или не имеет места в зависимости от некоторых простых свойств, которыми обладают корни (они могут быть комплексными) многочлена
П
эти корни являются полюсами передаточной функции
й=0
1 Как указывалось в разд. 6.3, исследование асимптотической устойчивости в смысле Ляпунова проводится обычно для тривиального решения; для системы (8.1) это сводится к изучению устойчивости нулевого решения y{t) =
Предыдущая << 1 .. 45 46 47 48 49 50 < 51 > 52 53 54 55 56 57 .. 87 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed