Принцип оптимальности в биологии - Розен Р.
Скачать (прямая ссылка):
связь между входными И ВЫХОДНЫМИ
СИГНАЛАМИ СИСТЕМЫ
8. 1. Входные и выходные сигналы
Один из плодотворных методов изучения систем управления и вообще любых систем заключается в том, что рассматриваются реакции, или выходные сигналы этих систем, возникающие при всевозможных допустимых формах входных сигналов, поступающих извне. До самого последнего времени такой метод изучения занимал в технике и в литературе, посвященной теории управления, ведущее место. Здесь мы обсудим вкратце некоторые важные понятия, относящиеся к этому вопросу, а в следующей главе продемонстрируем, каким образом эти понятия могут быть непосредственно использованы для изучения некоторых биологических систем управления.
Входной сигнал, поступающий в данную систему, можно рассматривать как некоторую функцию времени, скажем F(t), а выходной сигнал, или реакцию системы, — как какую-то другую функцию времени, например y(t). Поведение системы, соответствующее входному сигналу F (/), описывается уравнением (обычно дифференциальным), связывающим входную функцию F(t) с выходной функцией y(t).
Следует с самого начала отметить, что в имеющейся литературе по теории управления большая часть исследований посвящена линейным системам, т. е. таким системам, которые описываются линейными дифференциальными уравнениями. Только в этом случае удается разработать общую аналитическую теорию; аналитическое изучение нелинейных систем ограничивается по большей части такими случаями, в которых возможна линеаризация. В случае линейной системы ее поведение полностью определяется некоторым линейным дифференциальным уравнением. Это уравнение позволяет определить так называемую передаточную функцию, с помощью которой при лю^омг-аадан-ном входном сигнале может быть вычислен выходной сигнал.
Наиболее плодотворным математическим методощ, который может быть использован в этой области, является преобразование Лапласа. Исторически именно успешное применение этого преобразования и других так называемых «операционных методов» к техническим задачам побудило математиков к интенсив-
ному изучению такого рода методов. В результате был достигнут двойной выигрыш: во-первых, было положено начало развитию важной области чистой математики и развита строгая теория операционных методов и, во-вторых, применявшиеся в технике прикладные методы получили, наконец, теоретический фундамент и были развиты более сильные методы, которые можно было применить к более широкому и новому классу прикладных проблем.
В качестве типичного примера системы, которая может быть описана с помощью изучения зависимости между входными и выходными сигналами, рассмотрим вновь гармонический осциллятор. Роль входного сигнала F(t) играет здесь внешняя сила, вызывающая отклонение системы, а выходным сигналом у (t) служит отклонение системы от положения равновесия. При изучении свободных колебаний осциллятора можно считать, что возмущающая сила имеет следующий специальный характер: она отлична от нуля лишь в некоторый начальный момент t = = to и равна нулю при всех значениях времени t>t0; в момент t = t0 система получает под действием силы F(t) (входного сигнала) некоторое смещение из положения равновесия. После этого момента осциллятор находится лишь под действием восстанавливающей силы вида (7.2) или (7.6), и с этого времени и должен быть определен выходной сигнал у (t). Этот пример нужно иметь в виду при рассмотрении более строгой теории в следующих разделах.
8.2. Передаточная функция
Допустим, что рассматривается линейная система, у которой выходной сигнал у (t) связан с входным сигналом F(t) с помощью линейного дифференциального уравнения п-го порядка вида 1
атгУ(л) + ап-1У("~1> + • • • + я0 = /7(О (а/ = const, i=\,...,n).
(8.1)
Поведение такой системы полностью определяется, если задать некоторые начальные значения у (0) =А\, у' (0) —Ац, ...
¦ •</<”-'> (0) =Ап.
1 При изучении физической системы, описываемой уравнением такого вида, можно, не ограничивая общности, положить а0=0. Это просто соответствует тому, что за положение равновесия системы выбрано значение у=0, и при отсутствии внешних возмущений (т. е при F(t) =0) такая система должна обладать частным решением, соответствующим этому положению равновесия (т. е. функция 1/(0 = 0 должна быть решением этого уравнения).
Преобразование Лапласа представляет собой совершенно естественный метод изучения таких уравнений; его применение к решению дифференциальных уравнений напоминает применение логарифмов к решению некоторых простейших алгебраических уравнений. В случае алгебраических уравнений применение логарифмов упрощает решение задачи, так как при этом умножение чисел перех_одит в сложение логарифмов и возведение в степень сводится к умножению логарифма числа на показатель степени. Аналогично этому преобразование Лапласа сводит дифференцирование к операции умножения. В результате применения преобразования Лапласа к дифференциальному уравнению n-го порядка это последнее сводится к некоторому алгебраическому уравнению степени п. В случае вычислений с помощью логарифмов можно, используя антилогарифмы, найти решение интересующей нас задачи; сходная ситуация имеет место и для преобразования Лапласа: существует обратное преобразование, которое позволяет вернуться от решения полученного алгебраического уравнения к решению исходного дифференциального уравнения.
