Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Розен Р. -> "Принцип оптимальности в биологии " -> 5

Принцип оптимальности в биологии - Розен Р.

Розен Р. Принцип оптимальности в биологии — М.: Мир, 1969. — 215 c.
Скачать (прямая ссылка): principoptimizaciivbiologii1969.djvu
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 < 5 > 6 7 8 9 10 11 .. 87 >> Следующая

Многие физические вариационные принципы оказываются родственными друг другу. Г. Вейл [2] показал, например, что принцип Ферма можно вывести нз формулировки принципа относительности, опирающейся иа понятие геодезической линии.
Мопертьюи. Речь идет об известном принципе Гамильтона — едва ли не самом важном из вариационных принципов теоретической физики. Этот принцип, как и принцип Мопертьюи, связан с механическим действием. Он напоминает принцип Мопертьюи тем, что в нем с каждым элементом множества допустимых траекторий рассматриваемой механической системы связывается значение действия, соответствующее этой траектории, которое и характеризует цену этой траектории. Однако он существенно отличается от принципа Мопертьюи в определении допустимого множества возможных траекторий, которые могут быть выбраны. В принципе Мопертьюи берутся лишь те траектории, которые согласуются с требованием сохранения энергии. А в принципе Гамильтона рассматриваются траектории, которые возникают при так называемых виртуальных перемещениях. При этом фиксируется время перехода и варьируются лишь пространственные координаты системы (вариации координат должны быть при этом подчинены ограничениям связей, наложенным на систему). Эти два множества допустимых траекторий, соответствующих обоим принципам, вообще говоря, различны, так как нет оснований предполагать, что вдоль траекторий, образующихся при виртуальных перемещениях, энергия должна сохраняться. Поэтому, несмотря на то что в других отношениях эти принципы весьма сходны, они имеют совершенно разные области применения. Принцип Гамильтона является значительно более общим (|принцип Мопертьюи можно на самом деле вывести из принципа Гамильтона) и, как уже говорилось, служит краеугольным камнем большинства важнейших разделов теоретической физики.
Указанное различие между принципами Мопертьюи и Гамильтона чрезвычайно ярко иллюстрирует тот факт, что ха-{зактер оптимального решения задачи существенно зависит от того, каким именно образом определено множество допустимых решений, даже в том случае, когда используется одна и fa же оценочная функция. Такого же различия естественно ожидать и в том случае, когда берется другая оценочная функция, а множество возможных решений сохраняется.
Укажем здесь, не упоминая о деталях, еще одну область физики, где возникают такие же задачи. Интересный пример этого типа дает общая теория относительности, согласно которой действительная траектория материальной частицы, движущейся между двумя точками в силовом поле, соответствует геодезической линии, или кривой наименьшей длины (напомним, что, поскольку между силовым полем и кривизной про* странства существует определенная связь, линия наименьшей
длины, по которой движется частица, не совпадает с обычной прямой линией, как это имеет место в евклидовом пространстве) .
С математической точки зрения нахождение геодезической линии, или кривой наименьшей длины, соединяющей две точки на заданной поверхности, представляет собой одномерную задачу, и она может быть непосредственно обобщена на случай многих измерений. Двумерное обобщение этой задачи состоит в том, что требуется найти и описать поверхность (или поверхности) наименьшей площади, ограниченную некоторой заданной замкнутой кривой в трехмерном пространстве. Это так на- * зываемая задача Плато. Задача Плато тесно связана с применением принципа минимальности в физике, так как всякая тонкая оболочка, например пленка жидкости, ограниченная в пространстве некоторым замкнутым контуром, стремится принять конфигурацию поверхности наименьшей площади. Это нетрудно доказать исходя из того, что виртуальное изменение поверхности такой пленки (рассматриваемой как механическая система в состоянии равновесия) связано с нулевой виртуальной работой (см. разд. 2.10). Свойство тонких пленок, связанное с их стремлением принимать конфигурацию поверхностей наименьшей площади, находит непосредственное применение в биологии и может быть использовано при исследовании ряда интересных проблем, относящихся к формам живых организмов (см., например, [3], в особенности гл. VII). Обсуждение физической стороны явлений, связанных с этим свойством тонких пленок, можно найти в книге Джуса [4].
Упражнение
Сформулируйте явно условия, определяющие множества допустимых решений и оценочные функции в последних двух оптимальных задачах.
Совершенно очевидно, что подход, основанный на принципе экономии, или оптимальности (если понимать эти термины именно в том смысле, о котором говорилось выше), должен иметь весьма большое значение при изучении самых разнообразных физических проблем. О важных следствиях этого факта пишет в своей книге Голдстейн [5]: «...почти во всех областях физики для вывода «уравнений движения» (физических систем), например уравнений Ньютона, Максвелла или Шрёдин-гера, могут быть использованы (вариационные) принципы. Поэтому, когда принцип (такого рода) принимается за основу формулировки физических законов, обнаруживается, что различные области физики обладают, по крайней мере в некоторой степени, структурной аналогией. Когда результаты экспе-
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 < 5 > 6 7 8 9 10 11 .. 87 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed