Принцип оптимальности в биологии - Розен Р.
Скачать (прямая ссылка):
1.2. Принцип оптимальности в физике 1
Физика дает ряд превосходных примеров задач такого рода, и здесь полезно будет кратко провести их сравнительный анализ (более подробное обсуждение придется отложить до следующей главы, где будут развиты соответствующие математические методы). Остановимся на некоторых известных примерах, сыгравших особенно важную роль в развитии теоретической физики.
В качестве первого из них, соблюдая историческую последовательность, следует назвать принцип наименьшего времени Ферма. Это основной принцип геометрической оптики, и он гласит, что луч света, распространяющийся в некоторой оптической среде (у которой, например, показатель преломления может от точки к точке изменяться), выбирает из всех возможных траекторий такую, при которой время движения минимально2. Заметим, что принцип Ферма приводит к задаче именно такого типа, который мы обсуждали выше. Во-первых, все условия этой задачи вполне однозначно определены, а именно речь идет- о движении луча света из некоторой начальной точки в некоторую конечную точку через произвольную оптическую среду. Во-вторых, с этой задачей связано однозначно определенное множество допустимых решений — это множество всех физически возможных траекторий, соединяющих две заданные точки. Наконец, каждой такой траектории соответствует некоторое число, характеризующее в определенном смысле цену данной траектории, а именно время, затраченное световым лучом на переход по этой траектории. Принцип Ферма говорит, что в этом случае оптимальной траекторией будет та, которой соответствует наименьшая цена (т. е. наименьшее время перехода), и в природе движение светового луча происходит именно по такой оптимальной траектории.
Следующий физический принцип этого же типа, о котором здесь следует сказать, является в точном смысле слова аналогом принципа Ферма в механике — это известный принцип, наименьшего действия Мопертьюи. Этот принцип относится к дви-
1 В механике и физике такие принципы называются вариационными — Прим перев
2 В гл 2 будет показано, что при математическом решении задач, связанных с принципом Ферма и другими вариационными принципами, оптимальное решение не обеспечивает, вообще говоря, действительного минимума функционала Фактически гарантируется лишь то, что оптимальное решение будет стационарным Однако в большинстве реальных физических задач действительное оптимальное состоиние оказывается связанным, как правило, с минимумом (а не с точкой перегиба, максимумом или каким-нибудь другим типом стационарного решения)
жению механических систем и в наиболее общей своей формулировке утверждает, что при реальном движении произвольная механическая система выбирает из всех возможных траекторий, при движении по которым сохранйется энергия, ту траекторию, которая минимизирует определенную механическую величину, называемую действием. В применении к системам, у которых, кроме полной энергии, сохраняется также и кинетическая энергия и равнодействующая внешних сил равна нулю, этот принцип сводится к утверждению, что из всех траекторий, согласующихся с требованием сохранения энергии, система выбирает ту траекторию, которая минимизирует время перехода Аналогия с принципом Ферма здесь'вполне очевидна, и она имеет важное теоретическое значение2. В принципе Мопертьюи мы опятьугаки имеем дело с некоторым множеством допустимых решений механической задачи, которое однозначно характеризуется поставленными условиями (т. е. с множеством возможных траекторий изучаемой системы, согласующихся с условием сохранения энергии) и каждому элементу которого отвечает некоторое число (величина действия), соответствующее цене, связанной с движением по этой траектории. Принцип Мопертьюи указывает, что оптимальное решение определяется траекторией, на которой минимизируется действие, и что реальное движение системы происходит именно по этой траектории.
Очень интересно отличие третьего вариационного принципа, встречающегося в физике, от приведенного выше принципа
1 См. разд. 2.11. Полезно познакомиться со следующим эвристическим рассуждением, относищимся к этому вопросу: обозначим через Т к V соответственно кинетическую и потенциальную энергии системы, а действие для этой системы запишем как (Т —• V)t. Сохранение полной энергии означает, что 7’+K=const. Если кинетическая энергия тоже сохраняется, то 7’=const, а значит, также и V=const. Поэтому (Т—V)= const, и действие оказывается попросту пропорциональным времени перехода, откуда и следует то, что утверждалось.
2 Аналогия между этими двумя вариационными принципами была отмечена в 1834 г. Гамильтоном, который подчеркнул устанавливаемое этой аналогией соответствие между геометрической оптикой и классической механикой. Ввиду того, что геометрическая оптика является частным случаем волновой » оптики, высказывалось мнение, что Гамильтон мог бы в принципе построить на основе этой аналогии механический аналог волновой оптики Этот механический аналог, который мы теперь называем волновой механикой, был открыт лишь в 1926 г., когда Шрёдингер вывел свое волновое уравнение. Читатель может найти изложение волновой механики, опирающееся на эту точку зрения, в небольшой монографии Флннта [1].
