Биологическая статистика - Рокицкий П.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
T2 *2
2
/ *2/1 *2/2 *2/ft *2у С r*y *2/
Ъ *261 *262 *26ft *?6o Т%ь *26
- 1 *ill */12 */lft *ilc */1
2 *т */22 */2ft */2C Г/2 */2
1 Ti */
/ */yi *//2 *//ft XljC */y
Ъ */м */62 */6ft xibc Tib *i&
1 *011 *а12 *Olft xaXc Tai *01
2 *021 *022 *02 ft *020 T a2 *02
: Ta *0
а -
/ *й/1 *0/2 *0/ft xajc T'oy *o/
6 *аб1 *062 *o6A xabc Т'об *06
T Af
217
Применяются следующие обозначения: а - число групп
(уровней) по фактору А (в таблице имеются группы, обозначенные 1, 2, I,
а); b - количество групп (уровней) по фактору В. Во всех группах фактора
А в приведенной схеме Ь одинаково (1, 2, .... /, Ь), но в
конкретном материале такие случаи
обычно редки, поэтому b должно обозначать среднее-число групп по фактору
В внутри отдельных групп фактора А. Точно так же и с должно обозначать
среднее число вариант (или наблюдений) в каждой группе фактора В (в схеме
варианты обозначены 1,
2 k, ..., с), так как одинаковым оно практически никогда не
бывает.
Каждая варианта обозначается в общем виде как хцк. Символ i указывает,
что варьирование происходит по группам фактора А, символ j - на
варьирование групп по фактору В внутри групп фактора А. Наконец, символ k
относится к случайной вариации вариант внутри групп фактора В (и тем
самым внутри групп фактора Л).
Обозначения средних: х-средняя арифметическая для всех вариант, xt-
средние для групп фактора А, х1}- средние для групп по фактору В внутри
групп фактора А.
Суммы вариант обозначаются буквами Т: Тц - суммы вариант каждой строчки,
т. е. внутри каждой / - группы фактора - и, значит, во всех i - группах
фактора А\ Tf - суммы вариант во всех группах фактора А; Т - общая сумма
всех вариант.
По такому же принципу может быть построена схема и для количества
факторов больше 2. Тогда группы по фактору В в свою очередь дробятся на
группы по фактору С и т. д.
Общая схема двухфакторного дисперсионного анализа при иерархической связи
представлена в табл. 57. В ней указаны
Таблица 57
Общая таблица двухфакторного дисперсионного анализа при иерархической
схеме с указанием оцениваемых параметров
Источник варьирования SS df ms Оцениваемые параметры
Общее Пк abc - 1 ms
Фактор Л Ьс ^ (*; - х)* i а - 1 msi О* + + ЬсаА
Фактор В с S {хц - х))а ч а(Ь- 1) ms2
Случайные отклонения И {хцк - *у)* Чк аЬ (с - 1) ms$ •5
218
формулы для сумм квадратов и для чисел степеней свободы, а также
оцениваемые параметры. Для средних квадратов, которые в табл. 57 отмечены
только номерами, общие формулы, очевидно, будут следующими: для общего
варьирования
ms= ,
abc-
(98)
(99)
rzr[S(*v*-*)e]; <97>
для варьирования групповых средних по фактору А msx = (*, - *)2J;
для варьирования групповых средних по фактору В
mSi ~ а(Ь- 1) ^XlJ Х^ ]'
для случайных отклонений
= !ь$-1) [? (*/у*-(10°)
Рабочие формулы при иерархической схеме. При иерархической схеме, как и в
других случаях дисперсионного анализа, для вычисления сумм квадратов и
средних квадратов выгоднее пользоваться рабочими формулами, при этом надо
начинать с верхней точки иерархической схемы.
Рабочие формулы для сумм квадратов будут-следующими:
для общего варьирования
ijk
для варьирования по фактору А
' тгЕ"~а? '
i
для варьирования по фактору В
и '
¦ для случайных отклонений
* ?*'/*--г ?тй-
i/ft 'I
Следует обратить особое внимание на отличие рабочих формул для суммы
квадратов при иерархической двухфакторной схеме от рабочих формул при
обычной двухфакторной схеме. В последнем случае поправка для всех сумм
квадратов (кроме случайных от-
219
J4
клонений) одна и та же --. В первом же случае такая поправка пригодна для
исчисления общей суммы квадратов и суммы квадратов отклонений от
групповых средних по фактору, расположенному как бы на вершине
иерархической лестницы. Для получения же сумм квадратов для последующих
звеньев этой лестницы надо вычитать из первой части выражения основную
часть суммы квадратов предшествующего звена. Это позволяет дать общую
схему рабочих формул сумм квадратов для любого числа факторов,
расположенных по нисходящей лестнице. Например, для сумм квадратов пяти
факторов:
фактор А'
* Yt? 1 т2.
bcdef abcdef '
фактор В
1 V1 j1"_______j V1 'г?.
cdef Zl li bcdef Zl 1 '
4 i
фактор С
srSи т. д.
ijk ij
Наконец, сумма квадратов для случайных отклонений
^ xjjkl mn J~ ^ Тfjkt m j
ijklmn ijktm
а для общего варьирования
? X'iklmn - "abcdef T>-
ijklmn
Зная рабочие формулы для сумм квадратов при двухфакторной иерархической
схеме, можно легко получить значения средних квадратов, разделив суммы
квадратов на соответствующие им числа степеней свободы (указанные в табл.
57). Тогда рабочие формулы для средних квадратов будут иметь следующий
вид:
для общего варьирования (вычисление необязательно)
ms=~фг=т [2х1* - Щ; <97а>
. *
для варьирования по фактору А
для варьирования по фактору В
Ш
для случайных отклонений
f S77'}
(100а)
(99а)
ЛЬ if J
