Биологическая статистика - Рокицкий П.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
взаимодействия А и В (г- 1) (с- 1), для случайных отклонений rc(n- 1).
Общая схема разложения вариации при двухфакторной схеме дисперсионного
анализа представлена в табл. 49. В ней же даны и общие формулы для
средних факторов, которые получаются путем деления сумм квадратов на
число степеней свободы.
Рабочие формулы при двухфакторном анализе. Для упрощения расчетов лучше
применить рабочие формулы для сумм квадратов, а именно:
для общего варьирования
для варьирования по фактору А
J_yr? Т*_
пс 1 пгс •
для варьирования по фактору В
204
для варьирования, характеризующего взаимодействие А и В,
для варьирования случайных отклонений (внутри всех групп)
В этих формулах п - число вариант в каждой клеточке; с - число
вертикальных столбцов, т. е. групп по фактору В; г - число горизонтальных
строчек, т. е. групп по фактору А.
Величина означает уже фигурировавшую ранее сумму
квадратов всех вариант. Далее приходится иметь дело с различными суммами
вариант:
Ту - сумма вариант по отдельным клеткам (как рядов, так и столбцов);
Tt - сумма вариант для t-рядов, т. е. рядов по уровням (группам) фактора
А;
Т/ - сумма вариант для /-столбцов, т. е. колонок по уровням (группам)
фактора В;
Т - общая сумма всех вариант.
Применение этих формул для сумм квадратов дает возможность пользоваться
не средними, имеющимися в табл. 48, а только суммами вариант, кроме
только того, что понадобится сумма квадратов всех вариант (2х^А). Поэтому
в схеме варьирования табл. 48 можно не записывать средних в отдельных
клетках.
Коэффициенты при отдельных суммах слу-
жат для приведения всех величин к одному порядку. Число степеней свободы
для, всех сумм квадратов приведено в табл. 49. Поэтому можно записать
следующие рабочие формулы для средних квадратов, получающиеся путем
деления сумм квадратов на соответствующие числа степеней свободы: для
общего варьирования
(92 а)
для варьирования по фактору А
(93а)
для варьирования по фактору В
Таблица 49
Схема дисперсионного анализа при 2 факторах
Источник варьирования Сумма квадратов 55 Число степеней свободы df
Средний квадрат ms Номер фор- мулы ms
Общее (х ijk * )Я ijk ГСП - 1 ГСП- h?j(Xijb ~ х)2 4k (92)
Фактор А (груцпо- пс _
вые средние по г - 1 г 1 '/J ( X;- X )2 (93)
фактору Л) i Г ~ 1 М \ 1 * i
Фактор В (группо- V* - - fir V" - - rt (94)
вые средние по фактору В) nr 2j (х/- *)* / с - 1 с-\2<*У"*> /
Взаимодействие А и В nl?i (*ij- (r-D(c-l) (г-1)(с- 1)2 (*Ч~ ij
- */+*)* - Xi - Xj+Xf (95)
Случайные отклонения 2 (*<;*-"*</ ijk ГС (л - 1) 9ilk
-*ij? (96)
для взаимодействия А и В
ms = , -U-п ( - 2 Т% -Цт? - -+ (95а)
(г - 1)(с -1) \ п if J пс nr i rcn } 4 '
для случайных отклонений
(tm) - г7(Ьтт (r)Т" )' <96а>
Примеры дисперсионного анализа при двухфакторной схеме.
Проводились опыты по удобрению карповых прудов известью (600 гк/га
негашеной извести), суперфосфатом (72,8 /сг/гс Р2О5) и известью и
суперфосфатом вместе (с трехкратной повторностью) . Четвертый пруд в
каждом блоке не удобрялся. Окончательные данные о продуктивности прудов
(в переводе на 300 рыб в каждом пруду) представлены в табл: 50.
Таким образом, п=3, г=2, с=2, N=12. Применение рабочих формул позволит
вычислить значения сумм квадратов.
Общая сумма квадратов
5--Ш " 582 + 84а + • • • + 74* + 85*-----------------=
ijk
= 52 312 - 49 923 = 2389.
206
Таблица 50
Продуктивность карповых прудов с применением удобрений
Группы по фактору'Л (кальциевые удобрения) Группы по фактору В
(фосфорные удобрения^ Ti
О Р
вари- анты *ijk тч вари- анты *ljk ти
58 72
0 84 *-> II ОО 72 * 7 J2 - 208 Tv = 389 = 64,83
39 64
49 74
Са 55 Га1 = 152 74 Г* = 233 7*2- = 385 = 64.17
48 85
Т} СО со II г* Т.г = 441 II 2
х*х - 55,5 Z2 = 73,5 х = 64,5
24, = 52312 <7*
Сумма квадратов для варьирования по фактору А (кальций)
" ш = т(389* + 3852> ~49 923 = ~t6 ~
- 49923 = 49924 - 49923 = 1.
Сумма квадратов для варьирования по фактору В (фосфор)
¦Jf? г'2 S = т (3332 + 441*)-49 923 = -
- 49 923 = 50 895 - 49 923 = 972.
Сумма квадратов для взаимодействия А и В
-Л? Tl - Tj + ^ - 4-(181> + 208* + 162* +
+ 233") - 49 924 - 50 895 + 49 923 = _
207
- 49 924 - 50895 + 49 923 = 51 139 - 49 924 -
- 50895 + 49 923 = 243.
Сумма квадратов для случайных отклонений
- = 52312 - 51 139 = 1173.
i/ft 1 п tf '
Сводка результатов дисперсионного анализа дана в табл. 51.
Таблица 5J
Дисперсионный анализ данных о влиянии удобрений Са, Р и Са + Р на
продуктивность карповых прудов
Источник варьирования F табличное
SS df ms F фактическое при P = 0,05 при P = 0,01
Общее 2389 11 - - -
Са 1 1 1 +- - 0,007 - -
Р 972 1 972 972 -fifi 747-6.6 5,32 11,26
Са + Р 243 1 243 147 ' 5,32 11,26
Случайные отклонения 1173 8 147 - - -
С помощью критерия F проверяется достоверность средних квадратов для
источников варьирования: Са, Р и Са + Р. Роль Са
оценивает F-~= 0,007, т. е. роль Са не доказана.
972
Для влияния Р F = =6,6. Табличные значения F при df = 1
