Биологическая статистика - Рокицкий П.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
общей дисперсии:
(N-a) + (о- 1) =N-1.
Общая схема дисперсионного анализа при одном факторе. Общая схема
дисперсионного анализа приведена в табл. 42. Из нее видно, что общая
вариация разлагается на 2 компонента: один из них - это вариация
групповых средних (по градациям фактора А) вокруг общей средней х; другой
- вариация отдельных вариант внутри групп. Последнюю вариацию можно
рассматривать как случайную в том смысле, что она создается многими
неконтролируемыми факторами (кроме учитываемого фактора А). При делении
сумм квадратов, обозначаемых ss, на число степеней свободы получаются
средние квадраты (вариансы)-ms, непосредственно измеряющие суммарную
вариацию (формула (89)), и 2 ее компонента (формулы (90) и (91)).
В дальнейшем мы увидим, что' весь этот анализ понадобится для того, чтобы
сравнить 2 средних квадрата - второй и третий,
пользуясь критерием F (= ^f-j. 0 котором говорилось в гл. 4.
7 П. Ф. Рокицкий
193
Таблица 42
Схема дисперсионного анализа (анализа вариансы) при одном факторе
Источник варьирования Сумма квадратов SS Число степеней свободы df
Средний квадрат ms Номер фор- мулы ДЛЯ ms
Общее (все варианты) N- 1 (89)
Групповые средние (фактор А) 2 л, (Xi-lcf а - 1 1 , 2лг(^- *)2 а- 1 i
(90)
Варианты внут- S[S(*,/-5T)>] N - г * srs г., - Туч (91)
ри групп (случайные откло-* нения) N-ailj *
Рабочие формулы для вычисления сумм квадратов. Вычисление сумм квадратов
отклонений непосредственно по исходным данным вполне возможно, но требует
много труда. Поэтому лучше воспользоваться рабочими формулами,
основанными на одной из формул для суммы квадратов отклонений,
приведенных в гл. 2, а именно той, где сумма квадратов отклонений
вычисляется по значениям вариант:
(2у8 .
Второй член является как бы поправкой к первому (его в литературе
обозначают буквой С).
Если далее использовать приведенные выше обозначения 2х,-для каждой
группы (уровня фактора А) через 7\ (Ти Т2, ... , Ti} ... , Та), суммы
всех вариант - Т, число наблюдений в каждой группе обозначать общее число
вариант - N, то рабочие формулы будут выглядеть довольно просто:
общая сумма квадратов
сумма квадратов для групповых средних
V _Ц.
7 Ч N'
сумма квадратов для вариант внутри групп (т. е. для случайных отклонений)
и t п\
Практически совсем не обязательно вычислять все 3 суммы квадратов,
достаточно вычислить только 2, например, первую
Ж
и вторую. Третья может быть получена путем вычитания второй из первой.
При делении сумм квадратов на числа степеней свободы получаются средние
квадраты (варианеы^т Таким образом,-рабочие формулы для них будут
следующими: для общего варьирования
ms =ста = (j хЬ - V); (89а)
для групповых средних
= (90а> для случайных отклонений
"" = '¦= • (91а)
Проиллюстрируем методы дисперсионного анализа на 2 примерах -
ботаническом и зоологическом. При этом в первом из них численности
вариант в группах будут одинаковыми, что упростит расчеты.
Пример дисперсионного анализа при однофакторной схеме и одинаковой
численности вариант в группах. В лаборатории определяли содержание
каротиноидов в листьях канатника в разные часы суток. Полученные данные
представлены в табл. 43. Такое построение таблиц является стандартным при
дисперсионном анализе и очень удобно для дальнейших вычислений.
Таблица 43
Содержание каротиноидов (в мг/дм(r)) в листьях канатника (Abutilon) в
разные часы суток
Часы суток Определение xtj Tt Щ Xl Т2
1 2 3 4
15 1,41 0,95 1,00 0,93 4,29 4 1,07 18,4041
18 " 1,17 1,10 0 84 1,01 4,12 4 1,03 16,9744
21 1,38 1,38 0,91 1,36 5,03 f 4 1,26 25.3009
24 0,62 0,48 0,43 0,62 2,15 4 0,54 4,6225
6 0,74 0,41 0,41 0,43 1,96 4 0,50 3,9601
9 0,76 0,59 0,74 0,46 2,55 4 0,64 6 5025
12 0,64 1,02 1,04 0,98 3,68 4 0,92 13,5422
Т = 23,81 Т2 - 566 9161 //=28
27^=89,3069
7*
195
Графа xt показывает, что среднее содержание каротиноидов в различные
части суток неодинаково. Однако каждая средняя вычислена только на
основании 4 вариант, т. е. 4 определений каротиноидов (в 4 листах).
Поэтому вместо обычного приема сравнения средних арифметических,
описанного в гл. 4, лучше применить дисперсионный анализ, который поможет
вскрыть различия между группами в целом.
Так как в формулах имеется величина S xf., то полезно составить
вспомогательную таблицу, в которой все значения ху возводятся в квддрат и
после этого суммируются.
Чтобы не загромождать текст главы таблицами, приведем эту сумму в
окончательном виде: 2x^ = 22,7316.
Первый этап работы - вычисление суммы квадратов.
Общая сумма квадратов равна:
2*2 - Ц- = 22,7316 - 56--^161 = 22,7316 - 20,2470 = 2,4846.
ц Ч " •'в
Для вычисления суммы квадратов отклонений от групповых средних по формуле
tLl_.I1 74 N
надо было бы каждое Т? разделить на соответствующее щ. Но так как во все
часы дня было по 4 определения, то вычисления упрощаются, а именно:
1 2
?1Г-'Ж = 4-2:Г' -ТГ =4* • 89.3069 -20,2470 =
= 22,3267 - 20,2470 = 2,0797.
Сумма квадратов для случайных отклонений
