Биологическая статистика - Рокицкий П.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
распределения.
85
Из генеральной совокупности может быть получено громадное количество
различных выборочных совокупностей, несколько отличающихся друг от друга
составом входящих в них единиц. При этих условиях получить все возможные
величины выборочных средних, очевидно, нет возможности. Но в этом и нет
надобности, так как согласно закону нормального распределения, известен
процент значений х, находящихся в пределах отклонений на + lsjt ± 2s-, +
3s- от средней генеральной совокупности, аналогично тому, как это было
установлено для распределения вариант в обычном вариационном ряду (в
пределах +1 а, ± 2з, + Зз). Таким образом, в -пределах ± Is- находится
68,3% всех выборочных средних, в пределах ± 2s-- 95,5 % всех выборочных
средних, в пределах ±3sj- -99,7% всех выборочных средних.
.Это дает возможность использовать выборочную среднюю для оценки
генеральной средней. Нужно только знать среднюю ошибку. Так как точное
значение р неизвестно, можно использовать вместо р. среднюю
арифметическую выборки х и, зная s-, с определенной степенью вероятности
судить о пределах, в которых заключены возможные величины выборочных
средних.
Определение доверительного интервала для р. Так как выборочные средние х
колеблются вокруг средней арифметической генеральной совокупности [а, то
по ним можно с некоторой вероятностью судить о р.. Для оценки р надо
будет воспользоваться величиной ошибки и нормированным отклонением t.
Вероятность появления данной величины средней арифмети: ческой для
выборки из генеральной совокупности является функцией того же
нормированного отклонения, с помощью которого была дана выше
характеристика нормального распределения.
Поэтому можно установить с определенной вероятностью те границы, в
которых находится^ средняя арифметическая генеральной совокупности, с
помощью х, s- и / из формулы (23а), а именно:
х - /sj <p<x+/s5, (25)
или, иначе,
* - *-^=-<p<x + t~
У п У п
Эти границы получили название доверительных; интервал, т. е-разница между
максимумом и минимумом, также называется доверительным.
Естественно, что а в данном случае - среднее квадратическое отклонение не
генеральной, а конкретной выборочной совокупности.
Обычно заранее устанавливают ту или иную доверительйую вероятность, с
которой желают установить доверительные границы для р, например р=0,95;
р="0,99; р=0,999, что соответствует уровням значимости 0,05; 0,01; 0,001.
Чтобы указать, какой
уровень значимости или вероятности принимается в данном случае, при букве
t записывают показатель уровня значимости, например: /os или /оI • Кроме
того, необходимо обращать внимание на п. При большом п значение t можно
взять из таблицы нормального интеграла вероятностей (табл. 1), при малом
п - из таблицы Стьюдента (табл. II).
В примере с глубиной груди симментальского скота п = 168. Величина t05
(т. е. вероятность 0,95, а уровень значимости 0,05) по табл. I будет
1,96. Так как s-=0,17 см, то доверительный интервал, в котором находится
значение р при уровне значимости 0,05, будет от 73,8 - 1,96 • 0,17 = 73,5
до 73,8 + 1,96 • 0,17 = 74,2.
Этот вывод можно формулировать и так: 0,95 - это вероятность того, что
данный интервал 73,5 - 74,2 содержит ц.
Для иллюстрации определения доверительного интервала для (х при малом п
возьмем такой пример. Определяли концентрацию витамина С в томатном соке
(в мг/100 г сока). При этом х - = 20 (мг/100 г), sr = 0,965 (мг/100 г), п
= 17.
Надо определить интервал с доверительной вероятностью 0,95 (/* = 0,05).
Так как п меньше 20, надо воспользоваться табл. II для /-распределения по
Стьюденту.
Так как в табл. II нет графы п = 17, надо взять цифры вероятностей
средние между п = 16 и п - 18. Для вероятности 0,95 значение t будет
между 2,1 и 2,2 примерно 2,12. Тогда t0i • s- = 2,12 ¦ 0,965 = 2,05
(мг/100 г), а доверительные границы будут 20 - 2,05- 17,95 и 20 + 2,05 =
22,05 (мг/100 г).
Еще проще воспользоваться для установления t табл. III. При п- 17
количество степеней свободы равно 16. В пересечении графы для уровня
значимости 0,05 и строки df = 16 находим t = = 2,12. На эту величину
умножаем S-.
Учет доли выборки при вычислении средней ошибки. Указанная выше формула
средней ошибки (24) достаточно точна в тех случаях, когда численность
выборочной совокупности (и) очень мала по сравнению с численностью
генеральной совокупности (N).
Отношение-^- носит название доли выборки. Если генеральная совокупность
численно не очень велика (теоретически, как указывалось выше, ее
принимают бесконечно большой, разные генеральные совокупности могут быть
и ограниченных объемов), выборка же достаточно большая по количеству и
особи ее не возвращаются обратно в генеральную совокупность, то это может
сказаться на величине средней ошибки. Обычно при вычислении ее по формуле
(24) она оказывается завышенной. Для получения более точного значения
средней ошибки в нее следует ввести поправку,-
учитывающую соотношение -jjp а именно
