Биологическая статистика - Рокицкий П.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
будет следующей:
х - А-\-Ь = А-\- i~~~- (7)
Если отклонения с самого начала выражаются в фактических величинах,
тогда, очевидно, сумму отклонений умножать на i не нужно. Однако
предпочтительнее во всех случаях вычисления производить в условных
отклонениях и лишь позднее учитывать величину i. __
Средняя арифметическая х часто выражается числом ? десятичной дробью,
имеющей несколько знаков. Отклонения от х отдельных вариант, т. е. (х:-
х), будут также дробными величинами, возведение которых в квадрат
усложняет вычисления.
Среди свойств средней арифметической было одно, имеющее прямое отношение
к непрямому способу вычисления а и о(r), а именно: сумма квадратов
отклонений от средней арифметической меньше суммы квадратов отклонений от
любой другой величины А, не равной х.
Значит, сумма квадратов отклонений от условной величины А всегда больше
суммы квадратов отклонений от х, при этом на определенную величину, а
именно: на величину (х- Af, умноженную на п, т. е. _
2 (xt - Af = 2 (xi - xf + n(x - Af.
Отсюда
2 (х, - xf = 2 (х, - Af - n (х -Af.
Замена суммы квадратов отклонений от средней арифметической суммой
квадратов отклонений от условной средней А с внесением соответствующей
поправки дает возможность составить и рабочие формулы для вариансы и
среднего квадратического отклонения: _
2 _ 2 (Xj - Af - n(x - А)\ ..
и ~ п-1 ' W
гф-А)*' (9)
В случае, если варианты сгруппированы в вариационный ряд с частотами f
(точнее /(), можно воспользоваться следующими упрощенными формулами:
СГ =
а = (x-Af.
Выше мы указывали, что условное отклонение каждой варианты от А можно
обозначить через а, тогда истинное отклонение (хг - А) = ai. Разница
между х и А, как видно из указанной вы-ше формулы (7), равна i Подставив
эти величины в предыдущие формулы, получим окончательные рабочие формулы
для о2 и о:
= т(Ю)
.-у(r)4W ' <••)
Применим эти формулы к одному из вариационных рядов, разобранных в
предыдущей главе, например к ряду распределения 25 кроликов по весу.
Построение табл. 12 является стандартным для вычисления х и а с помощью
условной средней.
В качестве условной средней возьмем среднее значение класса
5,0 - 5,4, т. е. 5,2.* Сумма отклонений от условной средней в условных
же единицах равна + 2. Тогда
* Практически совсем не обязательно заполнять всю вторую графу табл. 12.
Достаточно-только вычислить по указанному выше способу среднее значение
класса, выбранное в качестве А.
37
Таблица 12
Распределение 25 кроликов по весу (в кг)
Классы .Средние значения классов Частоты / Условные отклонения а
/я2
3,0-3,4 3,2 1 -4 -4 16
3,5-3,9^ 3,7 1 -3 -3 9
4,0-4,4 ~ 4,2 3 -2 -& 12
4,5-4,9 4,7 3 -1 -3 3
5,0-5,4 5,2 7 4 0 0 0
5,5-5,9 5,7 5 1 5 5
6,0-6,4 6,2 3 2 6 12
6,5-6,9 6,7 1 3 3 9
7,0-7,4 7,2 1 4 4 16
i = 0,5 кг л=2 5 2 = - 16 + + 18-+ 2 2 =82
ь = = °>5 • i = 0>04 кг-
Отсюда
х = А + = 5,2'+ 0,04 = 5,24 кг.
Для вычисления а по формуле (11) надо взять из таблицы значение 2 fa2 и
использовать уже полученную величину Тогда
а = 0,5 У || - 0,08* = 0,5)/3^736 = 0,5 - 1,81 = 0,90 кг.
Вариансу в данном случае выгоднее вычислить не по формуле (10), а
обратным путем, т. е. возведением в квадрат вычисленного среднего
квадратического отклонения. Тогда
а2=0,902 = 0,81.
В разобранном примере I - 0,5. Очевидно, что в тех случаях, когда 1=1
(пример в табл. 4), вычисления хна будут проще.
Желательно, чтобы средняя арифметическая и среднее квадратическое
отклонение вычислялись с точностью по крайней мере на один десятичный
знак большей, нежели значения отдельных вариант. Кроликов взвешивали с
точностью до 0,1 кг, средняя же арифметическая и среднее квадратическое
отклонение (5,24 и 0,90 кг) вычислены с точностью до 0,01 кг. Поэтому под
корнем надо было иметь числа с 4 десятичными знаками.
Вычисление статистических показателей с помощью условной средней для
данных, не сведенных в вариационный ряд. В некоторых случаях
целесообразно и для данных, не сгруппированных в вариационный ряд,
применять непрямой способ вычислений х и а с помощью условной средней.
Отклонения каждой варианты от А, как обычно, а. В таком случае
Zto-A) и п
В табл. 13. приведены 20 значений живого веса при'рождении морских свинок
(из пометов с 2 детенышами) и значения (xt - А) и (xt - А)2. Тогда
2(х,-Л) = 5;
Таблица 13
Вычисление х и а для данных о весе (в г) при рождении 20 морских свинок
Веса при рождении-х/ Отклонения от A xL-А Квадраты отклонений (xi -
А)2
30 0 0
30 0 0
26 -4 > 16
32 +2 4
30 0 0
23 -7 49
29 -1 1
31 + 1 1
36 +6 36
30 0 0
25 -5 25
34 +4 16
32 +2 4
29 -1 1
28 -2 4
27 -3 9
38 +8 64
31 + 1 1
34 +4 16
30 0 0
А =30 2 = + 5 м II ? ч
39
6 = -|-0,25;
х=А + b = 30,0 + 0,25 = 30,25 г. Среднее квадратическое отклонение по
формуле (9).
2(xt - Af - n(x-Af__ л/247 - 20(0,25)" 7Г=~\--------------------- У 19
Л - 1
= У^Ж~ = У 12-93 = 3,60 г;
а2 = 12,93.
Взвешенные средние арифметические и средние квадратические отклонения.
Если анализируется сложная совокупность, состоящая из нескольких частных,
