Биологическая статистика - Рокицкий П.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
содержанию дифтерийного антитоксина.
Использование х2 Для установления наличия сопряженности. В предыдущих
главах уже говорилось о различных методах изучения связи между
признаками, т. е. сопряженной вариации. Для этой цели может быть
использован и критерий хи-квадрат. Нужно только составить соответствующие
четырехпольные и многопольные таблицы, аналогичные тем, которые
рассматривались ранее. Только в них должно быть дано распределение особей
по 2 признакам, сопряженность или связь между которыми
253
нужно будет установить. Такие таблицы называются таблицами сопряженности.
Расчеты хи-квадрата по этим таблицам ничем не отличаются от изложенных
выше для четырехпольных или многопольных таблиц, поэтому на них можно не
останавливаться. В числе задач, помещеных в конце главы, есть несколько,
в которых вычисление у2 требуется только для выяснения наличия
сопряженности (№ 194, 195, 196, 197, 202, 210).
Существенно то, что таблицы сопряженности могут быть составлены как по
качественным признакам, так и по количественным, но по таким, которые
можно разбить на какие-то условные группы, например: "высокий",
"средний", "низкий". Для простоты расчетов в некоторых случаях записывают
все данные даже в чет'ырехпольной решетке. Тогда фактический ряд вариации
по количественному признаку надо искусственно разделить на 2 части с
помощью средней арифметической или, еще лучше, медианы, или даже какой-то
условной величины. Получатся 2 группы вариант ниже определенного значения
А и выше. То же можно сделать и по другому количественному признаку.
Так, при изучении связи между длиной последних нижних малых коренных
зубов и количеством зубцов на них у ископаемого млекопитающего Ptilodus
получены данные, которые оказалось возможным представить в виде
четырехпольной таблицы (табл. 71).
Таблица 71
Таблица сопряженности длины последних нижних малых коренных зубов (в мм)
с количеством зубцов на них у ископаемого млекопитающего Ptilodus
Количество зубцов
Длина зубов 13 и меньше " 14 и больше Всего
8,0 и больше 0(4,1) 15(10,8) 15
7,9 и меньше 8(3,9) 6(10,1) 14
Всего 8 21 29
По длине зубов животные разделены только на 2 группы. То же сделано и по
числу зубцов на зубах. В скобках даны ожидаемые численности при нулевой
гипотезе, предусматривающей отсутствие связи. С помощью критерия хи-
квадрат можно или признать правильной нулевую гипотезу (т. е. что связь
между изучаемыми признаками отсутствует), или отвергнуть ее (т. е.
признать наличие связи). Иначе говоря, хи-квадрат указывает только на
отсутствие или наличие связи, но сам по себе не может служить мерой
связи.
254
Последнюю можно определить с помощью особого коэффициента взаимной
сопряженности, предложенного А. А. Чупро-вым, в формулу которого входит
х2 *
Вычисление ожидаемых частот для теоретических вариационных рядов и
определение соответствия эмпирических рядов теоретическим. После
составления вариационного ряда и вычисления характеризующих его
статистических показателей - средней арифметической и среднего
квадратического отклонения - возникает необходимость установить,
насколько фактически полученное распределение соответствует одному из
известных теоретических распределений. В нашем курсе мы ограничились
только 3 распределениями: биномиальным, нормальным и пуас-соновым.
Разберем на простейших примерах применение метода хи-квадрат для
сравнения эмпирических распределений с теоретическими.
В качестве примера биномиального распределения возьмем распределение
числа хрячков в пометах свиноматок, в каждом из которых было по 6
поросят. Оно показано в первых двух графах табл. 72.
Таблица 72
Сравнение эмпирического распределения числа хрячков в пометах свиней с
теоретически ожидаемым при биномиальном распределении
Количество хрячков в помете Фактическое число пометов О Теоретически
ожидаемое Е О-Е (О -?)" (О-Е)* Е
0 3 ) 3,45 ) - 5,15 26,5225 1,10
1 16 j19 20,70 | 24,15
2 53 51,75 + 1.25 1,5625 0,03
3 78 69,00 + 9,00 81,0000 1.17
4 53 51,75 + 1,25 1,5625 0,03
5 10 \ 18 20,70 \ 24,15
6 8 J 3,45 ) - 6,15 37,8225 1,57
я = 221 п = 220,8 X* = 3,90
(~ 221)
Так как в данном случае имеется дискретная, прерывистая изменчивость,
следует ожидать биномиального распределения, в котором ряд получается на
основе разложения бинома (р + q)k.
Приняв, что р = q - -j-, можно вычислить* ожидаемые частоты
каждого класса, установив величину k (напомним, что можно
* Об этом см. в кн.: Урбах В. Ю. Математическая статистика для биологов и
медиков, стр. 143.
255
воспользоваться для этой цели треугольником Паскаля). Так как в данном
ряду 7 классов, то k = 6. Тогда частоты классов будут выражаться
следующими цифрами:
22I-i; 6-221--i; 15 ¦ 221 ¦ 20-221--i;
15.221.-i-; 6 - 221 - i-; 221 - i-.
После выполнения арифметических вычислений получаем теоретически
ожидаемые частоты. Они записаны в третьей графе табл. 72., Одним из
условий правильного применения критерия соответствия является наличие в
