Сигнал о некоторых понятиях кибернетики - Полетаев И.А.
Скачать (прямая ссылка):
Мы можем представить себе различные распределения молекул газа в объеме. Каждое такое распределение является сложным событием и будет иметь определенную
66
вероятное!*», которую можно подсчитать по известным правилам теории вероятностей.
Пусть в сосуде с объемом V находится N молекул газа. Разобьем объем сосуда на большое число v одинаковых элементарных объемов или ячеек. Будем считать, что все молекулы размещаются независимо друг от друга и что вероятность того, что молекула находится в определенной ячейке, равна отношению объема ячейки к полному объему:
Теперь подсчитаем вероятность сложного события, заключающегося в том, что в первой ячейке окажется /г, молекул, во второй n2i . . .,в последней nv. При этом, разумеется,
где N — общее число молекул в сосуде. Эта задача аналогична подсчету вероятности выигрыша п билетов из общего числа N. Обобщая формулу (3.11), напишем:
Меняя числа яг, мы будем, очевидно, менять и величину вероятности PN. По-видимому, одно из возможных распределений будет иметь наибольшую вероятность. Определив максимум величины PN, убедимся, что наибольшей вероятностью обладает равномерное распределение молекул в объеме сосуда. При этом
Именно к такому распределению плотности приходит газ при отсутствии внешних возмущений в любом реальном эксперименте. В частности, явление диффузии приводит именно к такому наиболее вероятному распределению плотностей в смеси газов.
Аналогичным образом можно определить наиболее вероятное состояние газа с учетом влияния поля тяготения и с учетом распределения скоростей. В этом случае получается закон распределения Максвелла — Больтцмана, который наблюдается и на опыте. При этом физические вели-
V
(т/ • (3-23>
(3.24)
67
чины, свойственные всей массе газа, оказываются параметрами распределения вероятностей. Так, например, температура газа пропорциональна математическому ожиданию кинетической энергии молекул.
Состояние газа, отличное от равновесного, обладает меньшей вероятностью, причем вероятность падает тем быстрее, чем больше число молекул. М. Смолуховский подсчитал, что вероятность самопроизвольного отклонения мгновенного значения давления газа от среднего на 1% такова, что в объеме газа, соответствующем кубу с ребром 0,2 микрона, такое отклонение происходит в среднем каждые 10-9 секунды; в объеме, равном одному кубическому
сантиметру, то же самое случается лишь каждые Ю10* секунд, т. е. практически никогда не случается.
Можно доказать методами теории вероятностей, что система молекул газа, находящаяся в состоянии, отличном от наиболее вероятного, устойчивого, вскоре самостоятельно придет к устойчивому состоянию и останется в нем. Если мы, например, приведем в соприкосновение через теплопроводную стенку две порции газа с различными средними энергиями молекул (т. е. с различными температурами), то обе порции газа вскоре окажутся при одинаковой температуре. Если мы уберем перегородку, то газ будет самопроизвольно перемещаться и распределится по объему равномерно. Таким образом, теплопроводность и диффузия являются «макроскопическим» выражением статистической закономерности перехода от маловероятного состояния к более вероятному.
Можно вычислить энтропию S равновесного состояния газа, выразив ее через функцию распределения молекул по скоростям, или вероятность состояния. Это выражение имеет вид
S = kxlnP + C* (3.25)
где Р—вероятность состояния,
С — некоторая постоянная.
Энтропия равновесного состояния газа пропорциональна логарифму вероятности состояния газа. Самопроизвольное увеличение энтропии получает, таким образом, наглядное толкование как увеличение вероятности состояния.
* Энтропия, выраженная через числа молекул в ячейках объема и вероятности пребывания а них, принимает вид:
5 = k 2 п log п — — k 2 Pi log Pi + С. (3.26)
i-1 i-l
68
Второе начало термодинамики является законом статистического типа, справедливым только для массовых явлений. Для малых количеств молекул энтропия может иногда испытывать случайные самопроизвольные уменьшения и второе начало будет справеливым только в среднем по времени. Законы газового состояния являются законами статистического типа.
Другим примером плодотворного применения статистических методов, на этот раз к вопросам передачи сигнала, является теория информации, некоторые положения которой мы рассмотрим в следующей главе.
КОЛИЧЕСТВО ИНФОРМАЦИИ
При проектировании и создании систем, работающих с сигналами, в частности каналов связи, недостаточно подходить к решению задачи только с точки зрения физики или энергетики. Правда, физические процессы, происходящие в канале, весьма существенны и их характеристиками нельзя пренебрегать, так как сигнал есть физический процесс. Однако ограничиваться только рассмотрением физических процессов как таковых — значит упускать из виду самое главное, ради чего создается канал связи. Этим главным является количество информации, передаваемой без искажений в единицу времени. Таким образом, мы приходим к необходимости иметь численную меру количества информации*
