Сигнал о некоторых понятиях кибернетики - Полетаев И.А.
Скачать (прямая ссылка):
Распределение вероятностей. Математическое ожидание
и дисперсия
Если случайным событием является выбор определенного числа или величины из некоторого множества чисел или величин, то мы имеем дело со случайной величиной. Число пассажиров трамвая, число зафиксированных ионизирующих частиц, ошибка измерения, отклонение размера обработанной детали от заданного, вес початка кукурузы, число выигрышей, выпавших на ваши лотерейные билеты, число козырей, доставшееся игроку при сдаче карт, число родившихся сегодня в Москве мальчиков, возраст умершего—все это суть случайные величины. Они могут принимать как дискретные, так и непрерывные множества значений.
Задавшись одним определенным значением случайной величины или областью ее значений, мы можем подсчитать вероятность события, состоящего в том, что случайная величина в очередном испытании примет это значение или окажется в заданной области значений. При массовых испытаниях эта вероятность будет равна частоте появления данного значения случайной величины. Так можно найти, например, вероятность того, что все ваши лотерейные билеты выиграют или что не выиграет ни один. Можно определить вероятность того, что размер детали выйдет из допусков, и т. д,
53
Определив вероятность каждого значения случайной величины, мы можем построить диаграмму зависимости вероятности от значения случайной величины. Обычно строится кривая распределения вероятностей, на которой по горизонтальной оси откладывается значение величины а по вертикальной оси — вероятность того, что эта величина | окажется меньше некоторого заданного значения х, P(l<x)=F(x). По мере роста х кривая распределения монотонно возрастает от нуля до единицы. Если случайная величина | может принимать только отдельные дискретные значения (число выигравших билетов, например, может быть только целым), то кривая распределения оказывается ступенчатой. Если же величина | изменяется непрерывно (отклонение размера детали), то кривая распределения оказывается плавной. С помощью кривой распределения можно ответить на вопрос, чему равна вероятность того, что случайная величина окажется лежащей в пределах от Х\ до х2, <х2). Эта вероятность рав-
на разности ординат, соответствующих абсциссам х{ и х2.
Иногда пользуются кривой плотности вероятности, на которой откладывается производная (скорость роста) распределения вероятности по х. Для дискретных величин эта кривая имеет вид отдельных точек, для которых абсциссы равны дискретным значениям I, а ординаты— их вероятностям Р(1). Для непрерывных распределений кривая плотности вероятности непрерывна. Для того чтобы по кривой плотности определить вероятность попадания | в интервал Х\ <?< х2, необходимо определить площадь, заключенную между кривой и осью абсцисс на участке х\9 *2, т. е. интеграл плотности вероятности. Вся площадь под кривой плотности равна, очевидно, вероятности достоверного события, т. е. единице,
В качестве характеристик кривой распределения вероятности пользуются величинами математического ожидания и дисперсии. Математическое ожидание случайной величины [обозначается Af(I)] представляет собой сумму произведений значений случайной величины на соответствующие вероятности
м да=5, р (со+г2р (у+ъ3р (у+•.•+*„* (У =
54
п
= 5)s,P(S,).
(3.9)
В случае непрерывной величины ? сумма заменяется интегралом
+ 00
М(?)= f tp(l)dl (3.10)
—00
где р (?) — плотность вероятности.
Дисперсией [обозначается D(?)] называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины I от Л1(;)
п
D (Е) = М [Е - М (QJ* = ft - М (5,)1*Р (?,),
где Р(Ъ;) — вероятность появления Для непрерывных величин
+00
— 00
где р(1)— плотность вероятности.
Чем больше дисперсия, тем чаще в среднем встречаются большие отклонения от среднего значения. Величина дисперсии ошибок измерения характеризует качество измерения, с точки зрения точности. Чем меньше дисперсия, тем точнее измерение.
Приведем некоторые типичные законы распределения вероятностей.
Пусть существует N лотерейных билетов, каждый из которых имеет вероятность выиграть независимо от остальных, равную р, одинаковую для всех билетов (и, следовательно, вероятность не выиграть, равную, как вероятность дополнительного события, д=1—р). Какова вероятность того, что в тираже нз N билетов выиграют ровио п (и, следовательно, ие выиграют т *= N — п) билетов? Если мы заранее укажем определенные билеты, которые должны выиграть, то вероятность того, что именно указанные билеты выиграют, а остальные — нет, равна, как вероятность произведения независимых событий, pnqm. Однако мы могли бы выбрать не только те билеты, которые указали, ио и любые другие из числа N, имеющихся в иашем распоряжении. Из общего числа N можно выбрать п билетов ЛП
