Сигнал о некоторых понятиях кибернетики - Полетаев И.А.
Скачать (прямая ссылка):
50
Р{А1А2) = Р{А,)Р{А2).
(3.4)
Этим соотношением определяется вероятность одновременного пролета частиц в течение т секунд через первый и второй счетчики.
Можно обобщить эти результаты иа любое число элементарных
событий. Если события AА2.........Ak попаряо несовместимы, т. е.
никакие два из них не могут появиться одновременно, то
P(At + A2 + ... + Aft) = P(Al) + P(A2) + ... + P(Ak). (3.5)
Если события Ах, А2,.., Ак независимы, т. е. наступление яли не-
наступление любой системы этих событий ие меняет вероятностей наступления остальных, то
Р (АХА2... Ak) = P(At)P (А2)... Р (Ак). (3.6)
В задачах теории вероятностей приходится иметь дело с» системами событий, которые наступают илн ие наступают при реализации определенных условий. Обычно принимаются следующие допущения относительно системы событий:
а) если система содержит события А и Bt то она содержит также и события АВ, А + В, А — В;
б) система содержят достоверное и невозможное события.
Система событий, удовлетворяющая этим допущениям, называется полем событий.
Мы все время пользовались в качестве примера случайного события пролетом ионизирующей частицы через заданный объем. Те же рассуждения и заключения справедливы и для других случайных событий: для бросания игральной кости или монеты, вытаскивания карты из колоды или тиража лотереи, появления бракованного изделия в продукции завода или появления ценного вещества в образце породы и т. д.
Вернемся снова к подсчету ионизирующих частиц, чтобы ввести еще одно понятие—условную вероятность. Будем с помощью счетчиков исследовать образцы минералов, содержащих радиоактивное вещество. Пусть в нашем распоряжении имеются одинаковые образцы двух сортов с различным содержанием радиоактивного вещества, причем мы не знаем, какие именно из образцов принадлежат первому и какие—второму сорту. Если мы наугад берем один из образцов, то существует вероятность Р(Вi), что он окажется первого сорта (с низкой радиоактивностью), и вероятность Р(В2)—второго (с высокой радиоактивносгью). Вероятность зафиксировать пролет частицы Р(А) зависит от того, к какому сорту принадлежит взятый нами наугад образец, который подвергается исследованию. Иначе говоря, мы наблюдаем случайное событие А—пролет частицы—при условии, что наступило другое случайное собы-
51
Тие В—случайно выбран образец первого (или второго) сорта. Вероятность такого события называется условной вероятностью и обозначается P(AjB).
Вероятность сложного события, состоящего в совместном появлении событий А и В\ — выбор образца первого сорта и пролет частицы за время т,— будет равна произведению вероятности первого события на условную вероятность второго при условии, что первое событие наступило
Р(АВ1) = Р(В1)Р(А\В1). (3.7)
Условная вероятность, так же как и безусловная, имеет величину, лежащую в пределах от нуля до единицы. Для нее остаются справедливыми правила сложения и умножения вероятностей, о которых мы говорили выше. Это естественно, так как, в сущности, любую безусловную вероятность можно рассматривать как условную, ибо она существует только при условии осуществления определенной обстановки, в которой наблюдается данное случайное событие. Говоря об условной вероятности, мы подчеркиваем тот факт, что к однажды оговоренным условиям испытания мы добавляем некоторые дополнительные условия (выбор определенного сорта образца в нашем примере), которые осуществляются не при всяком испытании, являются случайным событием и имеют определенную вероятность.
Вероятность совместного наступления двух событий—выбор образца первого сорта и появление следа на фотоснимке или срабатывание счетчика в заданном интервале времени — можно записать иначе, чем мы это сделали в (3. 7), а именно:
Р(АВ1) = Р(А)Р(В1\А). (3.8)
Здесь Р (BiH) есть условная вероятность того, что мы выбрали образец первого сорта при условии, что после опыта мы обнаружили на фотографии след частицы.
Взяв образец наугад, мы не знаем, к какому именно сорту он принадлежит, и можем по этому поводу делать лишь предположения или высказывать гипотезы. Проведя ряд экспериментов и получив их результаты (обнаружив следы частиц), мы можем на основании этих результатов сделать заключение о вероятности того, что наша гипотеза справедлива.
Вопрос о статистической проверке гипотез является обширным и важным разделом теории вероятностей.
52
В практике, разумеется, задачи несравненно сложнее, чем в нашем примере. Вопрос о проверке гипотез особенно важен в технике передачи сигнала в помехах. Сигнал, посланный передатчиком, оказывается на приемном конце искаженным помехой. Приняв искаженный сигнал, мы можем определить условные вероятности передачи того или иного сигнала и на основании этих условных вероятностей вынести суждение об истинном сообщении, которое было послано.
Если условная вероятность Р(В\А) равна безусловной вероятности Р(В), то события А и В являются независимыми. Если Р(В) не равна Р(В\А), то события А и В оказываются статистически связанными, между ними существует корреляция. Наступление одного из них меняет вероятность другого. В пределе наступление одного события делает наступление другого достоверным или невозможным. В этом случае мы имеем обычную функциональную связь двух событий.
