Сигнал о некоторых понятиях кибернетики - Полетаев И.А.
Скачать (прямая ссылка):
njN — отношение числа выпадений герба л к общему числу бросаний N. Шкала N по осв абсцисс отложена ¦ логарифмическом масштабе. Веро' ятность вьгаадення герба прв одном бросании равна 0,5.
/ г 5 ю го so юо ш
зываемое его вероятностью. При большом числе испытаний частота наступления события А стремится по величине к вероятности Р(А).
Если некоторое событие U наступает в заданных условиях всегда, то его частота, а следовательно, и вероятность равны единице, P{U) = 1. Такое событие U называется достоверным событием. Если событие V никогда не наступает в заданных условиях, то его частота и его вероятность равны нулю, P(V) =0. Событие V называется невозможным событием.
Частота наступления и вероятность любого случайного события лежат между нулем и единицей, 0<Р(Л) < 1.
В примере с наблюдением следов частиц в камере Вильсона достоверным событием будет появление на фотографии изображения координатной сетки, нанесенной на стекло камеры, и изображения самой камеры (мы считаем, что в каждом опыте фотоаппарат исправен, пластинки доброкачественны и освещение достаточно). Невозможным
48
событием явилось бы непоявление изображения камеры. Вероятность появления следа частицы мы приблизительно определим, сделав много снимков и подсчитав частоту появления изображения следа на снимке. При этом мы предполагаем, что источник частиц остается постоянным и находится на неизменном расстоянии от камеры.
Теория вероятностей делает возможным, зная вероятности простых или элементарных случайных событий, определять вероятность сложных событий. Что такое сложное событие?
Пусть, например, мы имеем не одно, а два устройства, фиксирующих пролет ионизирующих частиц. Это могут быть не камеры Вильсона, а счетчики Гейгера—Мюллера, которые дают при пролете частицы через их объемы импульс тока, фиксируемый автоматическим регистратором. Назовем событием А{ срабатывание первого, а событием А2—срабатывание второго счетчика в течение времени т. Расположим счетчики так, чтобы одна и та же частица не могла последовательно пролететь оба счетчика. Кроме того, введем несколько искусственное предположение, что одновременный вылет двух частиц не случается и за короткое время наблюдения т две различные частицы наблюдаться не могут. Таким образом, всегда дело идет о регистрации одной частицы первым А\ или вторым А2 счетчиком.
Зададим теперь вопрос: какова вероятность того, что в течение времени наблюдения т сработает любой из двух счетчиков? Иначе говоря, какова вероятность сложного события, состоящего в пролете частицы через первый или второй счетчик?
Два события А\ и А2 такие, что появление одного из них исключает возможность появления другого, называются несовместимыми. В нашем случае несовместимыми являются пролеты частицы через оба счетчика одновременно. Сложное событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий А[ и Аг, называется суммой событий А\ и А2 (обозначается А1+А2).
Вероятность суммы несовместимых событий равна сумме вероятностей каждого
P = (Al+Ai) = P(Al) + P(A2) (3.1)
(аксиома сложения вероятностей).
Это соотношение понятно без пояснений, если вместо вероятностей подставить частоты событий.
49
Событие, состоящее в иенаступлении события А (обозначается А), называется дополнительным к событию А и, очевидно, является с ним несовместимым. Поскольку в каждом испытании событие А либо наступает, либо не наступает, т. е. наступает событие Л, то на основании (3.1) будем иметь
Р (А + Л) = Р {A) -f Р (А) = 1 (3.2)
как вероятность достоверного события. Отсюда, вероятность дополнительного события (непоявления следа на фотографии) равна
Р(А)=1-Р(Д). (3.3)
В систему аксиом теории вероятностей входят следующие:
Аксиома 1. Каждому случайному событию А поставлено в соответствие неотрицательчое число Р (Л), называемое его вероит-ностью.
Аксиома 2. Вероятность достоверного события равна единице
P(U)= 1.
Аксиома 3 (аксиома сложения). Если события и А2 несовместимы, то
Р(А1+А2) = Р(А1) + Р(А2).
Пусть теперь два счетчика находятся на большом расстоянии друг от друга и каждый фиксирует пролет частиц
от отдельного источника. Пролет частицы через счетчики № 1 и 2 в течение интервала времени т снова имеет некоторые вероятности Р(Аг) и Р(Л2). На этот раз пролет частицы через первый счетчик не исключает возможности одновременного пролета другой частицы через второй счетчик и наоборот. Более того, пролет частицы через один из счетчиков не изменяет вероятности пролета через
ДРУГОЙ.
Если наступление или ненаступление одного из событий не меняет вероятности другого, то такие события называются независимыми. Сложное событие, состоящее в одновременном наступлении событий А\ и А2, называется произведением событий Aj и А% (обозначается А И2). Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей каждого из них.
