Тепло и массообмен в пограничных слоях - Патанкар С.
Скачать (прямая ссылка):
Другой метод решения параболических уравнений был определен Хартри и Вомерсли [Л. 42] как метод интегрирования поперек течения. Вначале с помощью конечных разностей параболические уравнения приводятся к системе обыкновенных дифференциальных уравнений для
совокупности последовательно взятых сечений пограничного слоя, расположенных по нормали к основному (преимущественному) направлению течения. Независимой переменной в каждом сечении служит расстояние поперек слоя (возможно, в трансформированном виде); зависимыми переменными являются: скорость, температура и т. д. После этого обыкновенные дифференциальные уравнения интегрируют численно. Поскольку граничные условия для них задаются на любом из двух концов области интегрирования, то необходимо применять метод последовательных приближений. Методы этого типа применялись Ли [Л. 55],. Смитом и Клаттером [Л. 99] для ламинарных пограничных слоев; Смитом, Джаффе и Линдом [Л. 101], а также Меллером [Л. 61] для турбулентных пограничных слоев.
Третий метод решения носит название интегрального параметрического метода. Известны и другие его названия, например: «профильный» или просто «интегральный». Метод состоит в следующем:
1. Предполагается, что в любом сечении пограничного слоя профили скоростей, температуры и т. д. описываются простыми алгебраическими выражениями (например, полиномами относительно расстояния от стенки), содержащими свободные параметры (например, коэффициенты полинома).
2. Дифференциальные уравнения в частных производных последовательно умножаются на некоторые функции зависимых и независимых или только независимых переменных, названных «весовыми функциями». Далее уравнения интегрируются поперек слоя. В результате получаем систему обыкновенных дифференциальных уравнений с расстоянием вниз по потоку в качестве независимой переменной, и свободными параметрами в качестве зависимых переменных.
3. Поскольку производные первого порядка от некоторых свободных параметров входят в каждое из уравнений линейно, то для того, чтобы выразить каждую производную исключительно через величины, известные в соответствующих сечениях, до которых произведено интегрирование по длине, необходимо обращение матрицы.
4. Четвертым этапом является совместное интегрирование уравнений по продольной координате (в направлении движения потока) с помощью любого общепринятого метода, например Рунге—Кутта. В результате интересующая пас характеристика как, например, толщина потери импульса или коэффициент теплопереноса, может быть получена алгебраическими и арифметическими приемами.
В первоначальных исследованиях, основанных на интегральнопараметрическом методе, определялись лишь один или два параметра из дифференциальных уравнений. Вероятно, по этой причине метод иногда ошибочно рассматривался как приближенный. В принципе по точности он не уступает методу конечных разностей, использующему последовательное интегрирование или интегрирование поперек слоя. Точность этого метода может быть повышена неограниченно за счет увеличения числа свободных параметров. Этот метод применяли фон-Карман [Л. 128], Польгаузен [Л. 82], Вигхард [Л. 131], Паллоне [Л. 72], Либби и Фокс {Л. 57] к ламинарному пограничному слою, а Сквайр и Троунсер [Л. 116], Мозес [Л. 64], Харис [Л. 39], Гартшоре [Л. 35], Патанкар и Сполдинг [Л. 78] и Кендалл и Бартлетт [Л. 44] — к турбулентному.
Математические аспекты явно интегральных методов. В методах, расположенных ниже горизонтальной линии в табл. 0.2-1, часто используются уравнения, применяемые в интегрально-параметрических расчетах, т. е. обыкновенные дифференциальные уравнения, образованные умножением параболических уравнений на весовые функции с последующим интегрированием их поперек сечения слоя. Однако явные методы в отличие от параметрических не требуют задания формы 14
профиля, вследствие чего в них отсутствуют формпараметры; поэтому они обычно не требуют обращения матриц. Вместо этого дифференциальные уравнения преобразуются таким образом, чтобы такие интегральные характеристики, как толщина потери импульса, стали бы зависимыми переменными. Тогда вспомогательные величины, появляющиеся в уравнениях, такие, как коэффициент поверхностного трения, должны явно выражаться через интегральные величины.
Явно интегральные методы расчета турбулентных слоев в настоящее время, по-видимому, наиболее широко распространены по сравнению с другими. Различия между методами в основном связаны с весовыми функциями, используемыми для образования дифференциальных уравнений, а также с источниками и формами вспомогательных соотношений, обобщающих эмпирическую информацию. Трукенбродт [Л. 124] использовал интегральные уравнения движения и кинетической энергии совместно с алгебраическим соотношением между диссипативным интегралом и числом Рейнольдса, построенным на толщине потери импульса; Эскудиер и Сполдинг [Л. 29], а также Вальц [Л. 129] брали те же дифференциальные уравнения, но привлекали к расчету другие вспомогательные соотношения.
