Тепло и массообмен в пограничных слоях - Патанкар С.
Скачать (прямая ссылка):
Осесимметричное течение. Весьма сходным будет вывод нужного соотношения в случае осесимметричного потока. Исходным уравнением служит:
Подстановка (dOjdx—d\) из уравнения (2.6-7) с последующим исключением Ф10 с помощью уравнения (2.5-36) приводит к формуле
у______ °эф_______
— К*) (1 + Р) •
(2.6-5)
2.6-2. Граница расположена на линии симметрии
(2.6-6)
Воспользуемся конечно-разностной записью
(1Ф, __________d <^>ш ~ <^>1С'
(1У1 % ?) X\J
(2.6-7)
и удовлетворим уравнение (2.6-6) в точке 2,5. так что
(2.6-8)
(2.6-9)
(2.6-10)
(2.6-11)
(2.6-12)
Р]Ц1°ЭФ (t/2.5----t/l) 2
№ эф
(2.6-13)
(2.6-14)
где величины k определяются, как и прежде.
2-7. РЕШЕНИЕ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ
Давайте поэтапно проследим все проделанное нами до сих пор. Мы составили дифференциальные уравнения в частных производных в удобной системе координат. Они записаны нами в форме конечных разностей (в § 2.4), которая удовлетворяет интегральное уравнение для контрольного объема, распространяющегося более чем на половину со интервала на каждую сторону от линии сетки; таким образом, мы получили одно разностное уравнение для каждой линии сетки, за исключением тех, которые совпадают с граничными.
В разностных уравнениях для линий сетки 3 и Лг+1 используются величины скольжения ф2 и а не истинное значение Ф) и Ф.\-+з,
так как только тогда допущение о линейности профиля имеет смысл. Отношения для величин скольжения были получены в линейном виде в § 2.5, а в § 2.6 они представлены независимыми от граничных значений, в тех случаях, когда последние не были заданы.
Таким образом, сейчас у пас имеется система линейных алгебраических уравнений, которая всегда может быть решена: более того, эта система имеет специфическую особенность: только три неизвестные величины появляются в особом порядке в каждом уравнении. Это позволяет нам решать эти уравнения с помощью простой формулы последовательных подстановок, что предпочтительнее стандартного обращения матриц.
Способ решения состоит в следующем. Используя схему подстрочных обозначений, приведенную в разд. 1.5-1, мы можем записать алгебраическое уравнение как
где i = 2,3,4,5, ..., /V ~f- 2. Когда величины «I>j и <1\+3 неизвестны, их коэффициенты равны нулю.
Уравнение (2.7-1) может быть преобразовано в более ппостую форму
После вычислений А' и В' для г = 2, 3, ...,N + 2 получить значения Фг, Ф;+1 последовательной подстановкой, начиная с ФЛ-+3, используя уравнение (2.7-2), становится простым делом. Очевидно, что расчетное время, необходимое для этих вычислений, прямо пропорционально определяемому числу величин Ф; расчетное время, требующееся при пользовании стандартным методом матричного обращения, пропорционально N2 или N3.
Общие соображения относительно нахождения скоростей увлечения через свободную границу, контролирующих физическую ширину сетки, уже обсуждались нами в § 2.3. Согласование вычисленных из формул значений т"i и т"Е с действительными величинами зависит от вида 54
Фг-¦ = ЛгФг + 1 -|-ВгФг_1 С г,
(2,7-1)
(2.7-2)
где
Р!______ВгВ'г- 1 + с¦
i 1 с? j '
(2.7-3)
А’., = А2\
2.8. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
2.8-1. Формулы расчетной сетки
используемой гипотезы об эффективной вязкости. Ниже будут разобраны два случая.
Свободная граница, подчиняющаяся гипотезе о пути смешения. Если принять гипотезу о пути смешения справедливой для данного течения, то увлечение через свободную границу можно вычислить без ка-кого-либо произвола. В этом случае уравнение (2.3-3) сходится в пределе к конечной величине. Подстановка зависимости (1.3-5) в (2.3-3) с использованием допущения о равенстве нулю градиента скорости на свободной границе (принимая за нее /- пли ?-лннии) приводит к соотношениям:
m",= 2pll2I | д2и/ду2 [,; (2.8-1)
т"Е=~ 2рЕ12Е\д2и/ду21?. (2.8-2)
Использование параболического профиля скорости в промежутке между /-линией н точкой 2,5 позволяет нам подсчитать величину \д2и/ду2\. Конечным результатом выкладок будет формула для т"f.
т",-= 8Р f^fa+K3~2ga.l (2.8-3)
1 1 (г/г + г/з —Sj/iH ’
.либо для т"Е:
О I Ид, , , + И \• I О ”~ о I
щ'' = — 8р J- л +- - л „ . (2.8-4)
Е Е Е (Ук+1 + У.\-+2-2У.ч+чУ V
Свободная граница с неисчезающей эффективной вязкостью. Рассмотрим в общих чертах преобразование различных членов уравнения (2.3-4) к конечно-разностной форме.
