Тепло и массообмен в пограничных слоях - Патанкар С.
Скачать (прямая ссылка):
2.5. СКОЛЬЗЯЩИЕ ВЕЛИЧИНЫ НА ГРАНИЦАХ
2.5-1. Что такое скользящие величины?
При формулировании конечно-разностного уравнения предполагалась линейная зависимость Ф от ш между узловыми точками сетки. Такое допущение пригодно !везде (обеспечивается выбором достаточного числа узловых точек сетки поперек слоя), за исключением границы. Вблизи стенки, например, отрезок прямолинейной зависимости и~ ш, проведенный через действительное значение и у стенки, не отражал бы действительной картины, поскольку фактические изменения гораздо круче.
С другой стороны, эти пограничные области весьма важны, так как обусловливают пристеночные потоки, скорости смежного обмена и величины на линии симметрии. По этой причине мы используем в формуле линейной интерполяции «ложную» или «скользящую» величину Ф на границе, выбранную таким образом, чтобы обеспечить наилучшее точное решение дифференциального уравнения. Между прочим, ввод скользящих величин также облегчает анализ тех задач, где в качестве граничных условий заданы градиенты Ф, а не сами величины, но об этом речь пойдет несколько ниже, в § 2.6.
'Определение скользящей величины должно быть согласовано г вышеприведенными требованиями. На рис. 2.5-1 схематически показаны обозначения, используемые в дальнейшем. Весь интервал от ш = 0 до м = 1 разбит сеткой на N полос. Подстрочные индексы 1 и 2 означают соответственно истинные и скользящие величины на границе /; подстрочные индексы 3, 4, ..., /V+1 применены для последующих линий сетки вплоть до границы Е; истинная и скользящая величины на границе Е обозначены подстрочными индексами /V+2 и iV + З соответственно. ВеЛИЧИНЫ (02 И С0дт+2 там, где они используются, идентичны mi и шл-+з соответственно. Подстрочный индекс
2,5 относится к линии, проходящей посередине между границей и линией 3 сетки; аналогично yv+l,5 используется для линии, проходящей посередине между N+1 и границей Е. Линин с подстрочными индексами 2,5 и /V+1,5 имеют особое значение, так как они ограничивают все контрольные объемы, использованные при составлении разностных уравнений.
Таким образом, роль функции скольжения состоит в таком ориентировании отрезка прямой Ф2~Фз, которое обеспечивает в промежутке («>о,5—(Оз) лучшее представление, чем даваемое линией Ф1~Ф3.
Величину Ф2 будем определять из требования получения правильного наклона и величины Ф в точке 2,5 на основе линейной интерполяции Ф~м между точками 2 и 3.
Аналогичные замечания относятся к величине скольжения Фд'+г-При таком подходе даже поперечная координата может рассматриваться как Ф.
Правильный наклон и величина Ф в точке 2,5 зависят от вида границы и наших допущений относительно характера потока вблизи нее. В последующих параграфах соответствующие зависимости будут рассмотрены. При их выводе плотность среды и радиус кривизны принимались постоянными повсюду, исключая область вблизи оси симметрии.
Эти допущения вряд ли создадут значительные погрешности расчета. Приведенные ниже зависимости даны только для границы /; аналогичные соотношения справедливы и для границы Е.
В целях упрощения выражений для границы Е мы сохраним в последующих выкладках члены кн и уи хотя они и равны нулю на границе I. Заметим, что г/2 «е равняется у{. Переменная у интерпретируется так же, как Ф-функция, и обладает величиной скольжения.
2.5-2. Отношения величин скольжения для ограничивающей стенки
Распределение скорости вблизи стенки будем принимать в виде степенного закона:
исс\(У — ydf ¦ (2-5-1)
Вопрос о подборе величины [3 будет рассмотрен позже. Из определения * ;/
(со — а\) ос j" udy (2.5-2)
l/y
Рис. 2.5-1. Схема индексации действительных значений и величин скольжения переменной Ф.
получаем:
и ос | (да — со,) j
?/('+?)
(2.5-3)
Отсюда после согласования с наклоном и ординатой в точке 2,5 приходим к соотношению
(2.5-4)
'1 + 2?
и,.
Принимая в качестве зависимой переменной Ф-функцию, отличную от и, мы снова вводим допущение степенного профиля, но с другим показателем степени.
Тогда
(Ф — Ф,)сс \(у — у,) р. (2.5-5)
После использования равенств (2.5-1) и (2.5-3) приходим к выражению (ф — ф_) ОС | со — со, + (2.5-6)
Введение величин скольжения дает:
Ф,
Ф,
i + Р —т N
1 + ? + т j
-Ф
2т N
1+Р + Т ' J
(2.5-7)
В этом случае величина скольжения у, как легко уоедиться, может быть получена заменой Ф на у при -у = 1.
Следовательно,
