Тепло и массообмен в пограничных слоях - Патанкар С.
Скачать (прямая ссылка):
(«-"
Такое же равенство должно быть справедливым при подхода к границе G снизу. Следовательно (независимо от того, равняется со нулю или единице на рассматриваемой границе), справедливо выражение
ram"G—lim
А.
0 со
да
(ФЕ—Ф,)
да дш
(2.3-2)
или в другой записи
rGm"G
= lim
У^Уг.
д
ду
Гзф
ду
ди;ду
(2.3-3)
Теперь нетрудно высказать суждение о достаточности этого уравнения для определения m"G. Предел конечен, если величина цЭф пропорциональна ди/ду; значит, принятое определение является удовлетворительным. Использование гипотезы о пути смешения [выражаемой уравнением (1.3-5), где такая пропорциональность существует] позволяет нам использовать уравнение (2.3-3) как выражение закона обмена через внешнюю границу. Напротив, 'при ламинарном течении рЭФ не исчезает с ди]ду; тогда уравнение (2.3-3) заключает в себе бесконечно большую величину скорости обмена через внешнюю границу, 'И это не позволяет его использовать.
Опишем ,в общих чертах метод, принятый для таких случаев.
Поскольку неудовлетворительность уравнения (2.3-3) обусловлена исчезновением ди/ду на G-границе, то может оказаться полезным применять уравнение (2.2-1) вдоль какой-то линии постоянных значений со, несколько удаленной от границы G. Пусть сов будет этим значением со; ее величина должна лежать между нулем и единицей. Тогда
г,+ т",)-
(ди/дш)
[да ди>)в \ дх
1 др_ Рвап дх
(2.3-4)
Для достижения большей эффективности численного расчета необходимо так расположить границу, чтобы скорость ив вдоль линии га в, скажем, была бы близка к предписанной ее величине ив¦ Значения со в и ив могут быть выбраны таким образом, что никакая существенная ошибка не возникнет по причине нарушения истинного смысла : уравнений из-за принятия и равным скорости свободного потока, где , м = 1. Например, можно принять о)в=0,9, ;TB=0,99иЕ; тогда все величины в правой части уравнения (2.3-4), кроме duBl/dx, могут быть вычислены исходя из переменных величин, соответствующих конкретному значению х. Величина этой производной может быть найдена из текущего значения ив и значения йв в желаемом сечении вниз по течению.
Если только одна из границ примыкает к свободному потоку, то обмен через эту границу находится из уравнения (2.3-4) подстановкой в него значения т" для другой границы. Когда обе границы свободны, то используются два уравнения вида (2.3-4); их одновременное решение дает значения т"г и т"Е.
Формула конечных разностей для вычисления массовых скоростей обмена через свободную границу будет рассмотрена ниже в § 2.8.
Сделаем последнее замечание, касающееся массовых скоростей переноса через свободную границу. Вышеупомянутый подход будет использован в настоящей работе. Он представляется нам в настоящее время наилучшим, но не единственно возможным.
Выражение для т"G с одинаковым успехом может быть выведено из любого другого условия сохранения или может основываться на другом принципе. Необходимо напомнить, что массовая скорость через свободную границу является по существу произвольной, поскольку определение границы само по себе произвольно, а все формулировки 42
удовлетворительны до тех пор, пока отвечают требованиям, обеспечивающим эффективность вычислений.
Выводом дифференциальных уравнений в системе координат лг~м и получением выражений для массовых скоростей обмена через внешнюю границу завершается подготовка разработки метода конечных разностей, детали которого будут нами сейчас описаны.
2.4. РАЗНОСТНОЕ УРАВНЕНИЕ
Общее описание. В этом разделе дифференциальное уравнение
¦общего вида (2.2-4) в частных производных мы представим в конечно-
разностной форме. Это уравнение решается методом поступательного интегрирования. Поэтому каждому шагу интегрирования будут соответствовать известные величины Ф при дискретных значениях со для одного значения х. Задача будет состоять в том, чтобы получить величины Ф при тех же самых значениях м, но для несколько большей .величины. Повторение этой .основной операции для каждого шага интегрирования позволяет охватить все интересующее нас поле.
Дискретные значения со, которые мы выбирали заранее, определяют сетку; на рис. 2.4-1 показана часть этой сетки. Точки U и D представляют узловые точки в направлении течения потока при заданной со; узловые точки в непосредственной близости (О будем обозначать через U+,
XL, D+, D-. Точки, лежащие посередине между U и U+, обозначим через UU+; аналогично точки UU-, DD-, DD+ расположены посередине между соответствующими точками. Эти четыре промежуточные точки определяют контрольный объем (на рисунке заштрихован). Его мы используем для образования разностного уравнения. Частные производные по со в уравнении (2.2-4) могут быть выражены через значения Ф при Хц или хв. Может быть использовано также средневзвешенное значение двух этих величин.
