Тепло и массообмен в пограничных слоях - Патанкар С.
Скачать (прямая ссылка):
Асимптотическое решение для полностью турбулентной части слоя. Для больших значений у* вклад ламинарной вязкости и член экспоненциального затухания ,в (1.4-15) пренебрежимо малы. Тогда из (1.4-27)
da* _U 4- Р*У* + 2 Л A fin
dy*
Для /7* = m* = 0 получается
u* = In (?*«/*), (1.4-62)
где Е — постоянная интегрирования.
Для РъФ0, /п„ = 0 имеем:
= 2 (^Т + Л^ -1) ¦+ in {г-—АЕ'у;-===} - (1.4-63)
12 + р*у* + 2 у 1 + р№у» )
Здесь постоянная интегрирования Е* будет теперь зависеть от р. (Этот результат совпадает с полученным ранее Таунсендом [Л. 87] из рассмотрения баланса турбулентной кинетической энергии.)
Для /?* = О, тФ0 имеем:
- In (?*«/J + {In (EjsJ}’, (1.4-64)
константа интегрирования Е* является функцией т* (сходный результат был получен в работах [Л. 8, 14, 62 и 118]).
Для полностью турбулентной области и д* = 0 с помощью уравнения (1.4-27) и зависимости для Ф*(1>, выведенной из (1.4-29), получим соотношение
__ 1 +т4Ф*(,>
da* 1 +
Его интегрирование дает
In (1 + т*Ф*ы) In (1
(1.4-65)
¦р,, (1.4-66)
Здесь постоянная интегрирования Р* будет в общем функцией т* и a/at. Предельная форма уравнения (1.4-66) для т*—>-0 имеет вид:
Ф*(1) = и*+ Я*. (1.4-67)
(Сполдинг и Джаятилака [Л. 114] пользовались в своих расчетах формулой (1.4-67); позже Сполдинг [Л. 106] обобщил ее на основе соотношения, сходного с уравнением (1.4-66)}.
Случай больших значений ajat, /?* = т* = 0. Легко показать, что
соотношение (1.4-67) является решением дифференциального урав-
нения
^ = «3*. (1.4-68)
итерирование (1.4-68) дает:
ф*(.) = + J Кф — 1) du,_. (1.4-69)
б
du„
справедливо при /7#=/я*=0. Интегрирование (1.4-68) дает:
Для больших величин г/* (следовательно, для больших значений а±) подынтегральное выражение во втором члене правой части (1.4-69) обращается в нуль; тогда верхний предел может быть заменен на бесконечность. Таким образом, приходим к следующему выражению для Я* в уравнении (1.4-67):
СО
р* = J («эф— l)rfM*. (1.4-70)
0
При весьма больших o/ot значительный вклад в Р* вносится областью малых величин и*. Асимптотическое значение поэтому может быть найдено при сохранении лишь первого члена в разложении в ряд экспоненциального члена уравнения (1.4-20) в допущении приблизительного равенства между собой величин у* и и* в этой области. Тогда выражение
1 + (и4м2) )
n(1.4-71)
и есть искомая асимптотическая формула. В случае больших величин o/at
Р* =4^Л;2ВД-1/4(^-- 1). (1.4-72)
Коэффициент восстановления для т..,. = 0. Если положить т., = = 0 в уравнение (1.4-36), то после интегрирования найдем:
К^= J Кэф— \)du[ /2. (1.4-73)
о
Если же Oh и crft, ( равны между собой, то а/1Эф есть величина постоянная.
Тогда
?,.д=фЛ.(-1)«:/2. (1.4-74}
Следовало бы отметить, что даже при неравных друг другу числах Oh и ah, t величина сглоф значительно отличается от Gh.t только в области малых а*, где величина 'интеграла в уравнении (1.4-73) в любом случае невелика. Таким образом, уравнение (1.4-74) окажется достаточно точным для больших значений «*, даже когда сгЛ=^а/,,(. Подстановка уравнения (1.4-74) в (1.4-41) приводит к простому результату:
Я = (1.4-75|
1.4-5. Явные формы зависимостей
Соотношения типа (1.4-31) или (1.4-60) представляют главный результат нашего анализа куэттовской модели течения. Позднее мы воспользуемся ими для установления связи между величинами у, и, ф, dp/dx, m"s, с одной стороны, и ts, /«— с другой. Поскольку почти каждая безразмерная величина содержит ts, то процесс обязательно будет итерационным, т. е. повторяющимся. Эту особенность можно устранить преобразованием соотношений типа (1.4-31) к удобным явным формам. Мы определим новые безразмерные группы и классифицируем их таким образом, чтобы представить касательные напряжения на стенке, тепловой поток и т. д. как функции известных величин.
3?
