Теория управления и биосистемы. Анализ сохранительных свойств - Новосельцев В.Н.
Скачать (прямая ссылка):
[Ст ЛТСТ (ЛТ)2СТ ... (Лт)т"‘ст] (5.73)
равен т.
В следующем разделе мы покажем, как понятия наблюдаемости и управляемости применяются для анализа моделей биосистем.
5.8. Уравнения состояния
для системы пассивного теплообмена
В этом разделе мы рассмотрим применение метода пространства состояний для описания системы теплообмена в организме животного, следуя работе [286]. Анализ этой работы в рамках
классической теории управления имеется в учебнике [130].
Представим ткани тела в виде трехслойной структуры (кожа, мышцы и ядро) с температурами хи х2, х3, соответственно (рис. 5.6). Источники тепла расположены в ядре (темп притока тепла шз определяется интенсивностью обмена веществ) и в мышцах (темп притока тепла w2 зависит от интенсивности мышечной работы). Потоки тепла от ядра к мышцам, от мышц к коже и от кожи в окружающую среду определяются величиной перепада температур (хз — х2), (х2— х\) и (Х\ — wi), соответственно, где Wi — температура окружающей среды. Процессы теплообмена в организме определяются двумя видами механизмов. Это прежде всего пассивные механизмы, которые зависят от температурных перепадов между слоями тела и от коэффициентов теплопроводности &3, k2 и теплопередачи k\. На них наложены активные терморегуляционные механизмы, которые реализуются, с одной стороны, через изменение переменных w3, w2 и теплопотерь с испарением а с другой стороны — через изменение коэффициентов k2, k\ (сосудистые реакции).
Рнс. 5.6. Представление гела животного в виде трехслойиой структуры с внутренними источниками тепла. Х\ — температура слоя кожи d\, Xt—температура слоя мышц d2, —температура ядра
тела—слоя толщиной ds", a>i — no-терн тепла с испарением. Источники потоков тепла ш2 и Ws расположены в мышечном слое и ядре. В формулах (5.74) коэффициенты теплопроводности kit k\ определяются толщиной слоев
k2=2k/(dx + d2),
ki=2k/(di +dj); k —теплопроводность ткаией при нормальном кровоснабжении.
Если ограничиться рассмотрением пассивных механизмов теплообмена, то их уравнения можно записать в виде
ТiXi = k2 (х2 — х{) — k\ (*! — Vi) — wh
T2x2 = k3 (x^ — x2) — k2 (x2 — x{) + w2, (5.74)
T3xj = — k3 (x3 — x2) + w3,
где 7'i = c,pia(1, i = 1, 2, 3, — постоянные времени каждого из
слоев, с, — их удельная теплоемкость, р* — удельная плотность, di—характеристика толщины слоев. Схема моделирования системы приведена на рис. 5.7.
V,
Рис. 5.7 Схема моделирования пассивных механизмов теплообмена. Вектор состояния х=[Х\ х2 Яз]т имеет три компоненты: температура кожи» мышц и внутренних органов (ядра), соответственно. Вектор входов w=*[wi w2 о>*]т представляет собой темпы потоков тепла, возникающие из-за процессов метаболизма во внутренних органах, ws, в мышцах, wt, и темпы теплопотерь wt от испарения влаги с поверхности кожи. Пассивные механизмы регуляции представлены влиянием переменных состояния на темпы теплопередачи от ядра к мышцам, от мышц к коже и от кожи в окружающую среду. Эти механизмы обеспечивают равенство выходных переменных соответствующим входным величинам. В стационарном состоянии = 1 = 1, 2, 3. Однако пассивные механизмы регуляции теплового
режима не могут обеспечить постоянства внутренней среды (неизменность сигналов х* и Хг) при изменении температуры окружающей среды — возмущающего сигнала
Рассмотрим эту схему подробнее, положив для простоты w 1 = 0. Прежде всего в системе три переменных состояния х\, Х2, Хъ — выходы трех интеграторов. Вектор состояния х, следовательно. определяется как [лгх х2 х3]т. Внешних сигналов, действующих на систему, тоже три: w3, w2 и v{. Два из них, а»з, w2 — темпы; один, v\, — уровень.
Здесь мы впервые сталкиваемся со спецификой биосистем: вектор входов включает в себя две разнородные группы переменных, темпы и уровни. В этом случае можно поступить одним из двух следующих способов. Можно, не обращая внимания на
эту разницу, ввести общий вектор для всех внешних воздействий
(5.75)
Г" 1
v = I . L ws J
Однако во многих случаях более оправдано представление внешних воздействий в виде двух векторов, обозначенных, соответственно, через v и w. В данном случае можно было бы ввести обозначения
(5.76)
Переход от одного способа описания к другому производится с помощью блочных матриц.
В нашем случае трехмерный вектор (5.75) можно представить как блочный вектор, составленный из векторов (5.76) размерности 1 и 2:
v =
[и1 (1 X 1) 1
w(2 X 1) J
(5.77)
Перепишем уравнения состояния (5.74) при помощи матриц и векторов. Разделив обе части каждого из уравнений на соответствующую постоянную времени Tt, запишем получившуюся систему в обычном виде, без использования блочных матриц:
