Теория управления и биосистемы. Анализ сохранительных свойств - Новосельцев В.Н.
Скачать (прямая ссылка):
При рассмотрении вопросов управляемости следует иметь в виду, что управление может действовать на некоторую рассматриваемую координату как непосредственно (в этом случае в правой части уравнения появляются координаты вектора управления и), так и косвенно (в этом случае в правой части уравнения для рассматриваемой координаты самих координат вектора управления нет, но зато есть другие координаты вектора состояния, которые уже зависят от управления и). Поэтому сначала мы рассмотрим пример, в котором матрица Л
диагональна, т. е. возможно только непосредственное влияние вектора управления на координаты вектора состояния х.
Пример 5.7.1 Рассмотрим систему, показанную на рнс. 5.4, которая описывается обычным уравнением состояния (5.39), где ^xi)’ °(3xi)’ ^(2x1) — векторы, а матрицы А, В, С и D имеют вид
Система не является полностью управляемой, если одна из двух строк в матрице В нулевая. Пусть, например, это вторая строка: 621 — Ьгг = Ьгг = 0. Тогда, выписывая уравнение для координаты дсг, получаем
?2 “ Д22Х2 "Ь ^21^1 Ч" Ь%2и2 ~Ь ^23^3 = ^22-^2»
и на координату дг2 нельзя никаким образом воздействовать извне.
Рис. 5.4. Пример системы, имеющей одну неуправляемую и одну ненаблюдаемую коорди-нату. Пунктиром показаны все возможные связи в системе; сплошной линией — фактически существующие. Прн нулевой второй строке в матрице В 0) перемен-
ная Хг не имеет связей со входами системы, и поэтому хг является неуправляемой переменной. При нулевом первом столбце в матрице С (когда ca=C2i=0) оба выходных снг нала x/i и У* содержат информацию только о переменной состояния х^\ переменная Х\
ненаблюдаема.
Если бы матрица А не была диагональной, уравнение для кг даже при нулевой строке в В включало бы член а2iXt, поскольку
з
#2 = а2\х\ +а22*2+ ? Vib2i’
<-1
и внешнее воздействие V, изменяя координату Xu косвенно влияло бы и на х2.
Полная наблюдаемость системы означает, что выходные переменные содержат информацию обо всех переменных состояния. Пусть матрица С содержит хотя бы один нулевой столбец — например, первый. Тогда уравнения выходов у\ и уг принимают вид
У\ = сиХ\ + Cu*a = ci2**. (5 71)
Уг = С2\Х\ + CJ 2*2 = 022*2>
и выходные сигналы не зависят от переменной состояния х\. Переменная состояния Xi, таким образом, ненаблюдаема.
Вообще говоря, любую систему можно представить в виде четырех подсистем, которые по-разному проявляют указанные свойства. Такое представление иллюстрируется рис. 5.5.
Понятия управляемости и наблюдаемости имеют принципиальное значение при исследовании систем любой природы, в том числе — биологических. Неучет неуправляемых или ненаблюдаемых подсистем в исследуемой системе часто может привести к ошибочным выводам. Например, наличие неуправляемой части может при любых попытках управления процессами в биосистеме приводить к чрезмерному росту наблюдаемых переменных подсистемы S, не за счет управления v, а только за счет влияния неуправляемой части б’з (см. рис. 5.5).
Мы рассмотрели понятия управляемости и наблюдаемости только для одного частного случая уравнений состояния, имеющих вид (5.70). Для системы, записанной в общей форме
(5.39), условия управляемости выглядят несколько более сложно. Это объясняется тем, что в рассмотренном случае диагональной матрицы А управление v может воздействовать на переменную х, только непосредственно (через i-ю строку матрицы В), так как все переменные состояния «развязаны» и не влияют друг на друга. В общем же случае матрица Л(тхт> недиаго-нальна, и переменные состояния могут влиять друг на друга. Поэтому, если даже нет влияния управления на данную координату состояния непосредственно через строку В, то такая связь все-таки может возникнуть, хотя и более сложным образом: управление v влияет на какую-то другую координату, которая уже через матрицу А влияет на данную координату. В таком случае роль матрицы В берет на себя произведение матриц АВ. Мало того, если и в этом случае влияние v на рассматриваемую координату состояния отсутствует, то может оказаться, что такое влияние осуществляется еще более опосредствованным образом, через матрицу ААВ — (А)2В и т. д.
Строгое рассмотрение этого вопроса показывает, что условие полной управляемости можно записать следующим образом. Система является полностью управляемой, если ранг матрицы
[В АВ {А)2В ... (А)т~1В] (5.72)
Рис. 5.5. Разбиение системы на подсистемы, обладающие различными характеристиками с точки зрения управляемости л наблюдаемости. Система Si полностью управляема и наблюдаема, S2 — управляема, но непаблюдаема, S3 — неуправляема, но наблюдаема, S4 —неуправляема и не-наблюдаема.
равен т.
Аналогичным образом выписывается и условие наблюдаемости. Система является полностью наблюдаемой если ранг матрицы
