Теория управления и биосистемы. Анализ сохранительных свойств - Новосельцев В.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Определим энтропию, отвечающую каждому из возможных состояний системы. Обозначим состояние символом (т, п — т), где т — число частиц в левом отделении (первом отсеке), а п — общее число частиц.
, Тогда удобно воспользоваться статистической трактовкой энтропии (1.3), определяя число различных комбинаций частиц, при которых реализуется данное макросостояние системы. Количество комбинаций, приводящее к состоянию (т, п — т.), есть
о.
о
1 °oi ol<
а) б)
Рис. 1.10. Простая модель системы, содержащая два компартмента. а) Закрытая система; б) открытая система. Равновесное состояние в системе а) не совпадает со стационарным неравновесием в системе б). Эта модель может рассматриваться как простейший случай компартментальной системы, имеющей два ком-партмеита: первый компартмент — совокупность частиц в левом отделении системы, второй — в правом.
число сочетании из п по т:
Still П ^ / 1 т- \
W — Cn=-------гт----гг- (1 -5)
т! (п — т)\ 4 '
В табл. 1.1 приведены значения w и In w для всех возможных состояний системы на рис. 1.10, а. Энтропия системы 5 получается для каждого состояния умножением величины, стоящей в последнем столбце, на постоянную Больцмана.
Таблица 1.1
Состояние Число 1а ш Состояние Число In W
системы комбина системы комбина
ций W ЦИЙ W
(6,0) 1 0,00 (2,4) 15 2,71
(5,1) 6 1,79 (1.5) 6 1,79
(4,2) 15 2,71 (0,6) 1 0,00
(3,3) 20 2,99
Допустим, что частицы внутри системы движутся не полностью случайно: перемещение их происходит от более «населенного» отсека к менее «населенному». Пусть выравнивание числа частиц подчиняется закону диффузии; поток частиц пропорционален разности концентраций в первом и втором отсеках, т и (п — т), соответственно:
г/12 = a[tn — (п — т)] = а (2т — п), (1.6)
где а — коэффициент пропорциональности. Для простоты можно положить а = 0,5.
Тогда движение частиц будет приводить к тому, что в системе реализуются все более вероятные комбинации — энтропия системы возрастает. В стационарном режиме система предпочтительно находится в состояниях с максимальной энтропией, когда п
m=Y.
Дополним теперь систему двумя внешними потоками частиц: в первый отсек ящика извне поступает поток с заданным темпом 2 частицы в единицу времени; из второго отсека частицы с таким же темпом уходят в окружающую среду (рис. 1.10,6). Обозначим потоки символом у с двойным индексом; среде присвоим индекс 0. Тогда потоки из среды в отсек 1 и из отсека 2 в среду равны, соответственно,
Уо1 — 2, у2о = 2.
Рассмотрим дискретную последовательность событий в системе при исходном состоянии (4,2). После притока двух частиц
извне в первый отсек состояние системы будет (6,2). Затем согласно (1.6) из первого отсека во второй перейдут две частицы— система окажется в состоянии (4,4), а после оттока двух частиц из второго отсека в среду —в состоянии (4,2). Переходы (4,2)->(6,2) и (4,4)—*-(4,2) вызваны обменом со средой, переход (6,2)->(4,4) — внутренними необратимыми процессами в системе.
Вычислим приращение энтропии AS,- и ASe в (1.4). Приток энтропии извне составляется двумя компонентами: ASei и ASe2, отвечающими указанным двум переходам системы (4,2)-» (6,2) и (4,4)->(4,2). Тогда
ASel = 6 In Cg - 6 In Ct = 0,62k,
ASe2 = 6 In Сб — 6 In Cg = 6(2,71 — 4,25) = —1,546
и
ASe = ASel + ASe2 = —0,926.
Найдем теперь AS,. Для перехода, вызванного внутренними процессами, имеем
ASt = 6 In Ct - 6 In Ct = 0,926.
Следовательно, общее изменение энтропии за цикл AS = = ASe + AS< = 0, т. е. система находится в стационарном режиме. Начальное и конечное состояния системы совпадают:
четыре частицы слева, две справа. Это стационарное состояние является неравновесным, оно поддерживается за счет непрерывного протекания через систему потока частиц. Энтропия стационарного неравновесного состояния (4,2), равная 2,716, меньше максимального значения 2,996, отвечающего стационарному равновесию (3,3). Система, предоставленная самой себе, способна совершить работу за счет выравнивания числа частиц в обоих отсеках ящика.
В этом простом примере темп производства энтропии внутри системы определяется только физическим процессом переноса частиц; в более сложных случаях такой прирост энтропии является следствием также и необратимых химических реакций. Приток же извне и в сложных системах обеспечивается прежде всего за счет физических процессов перемещения вещества.
ГЛАВА 2
СОХРАИИТЕЛЬНЫЕ СПОСОБНОСТИ ЖИВЫХ СИСТЕМ
2.1. Концепция самосохранения и живые системы
Обычно в литературе по теоретической и математической биологии начало анализа сохранительных свойств биосистем связывается с принципом Ле-Шателье: «Если на систему, находящуюся в устойчивом равновесии, подействовать извне, изменяя какое-нибудь из условий, определяющих положение равновесия, то равновесие смещается в том направлении, при котором эффект произведенного воздействия уменьшается». Этот принцип был сформулирован французским химиком А. Ле-Шателье в 1887 г. для термодинамических систем. После того, как немецкий физик К. Браун показал, что это положение является следствием второго начала термодинамики, иногда стали употреблять название «принцип Ле-Шателье—Брауна».
