Теория управления и биосистемы. Анализ сохранительных свойств - Новосельцев В.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Поэтому при анализе сохранительных свойств биологических систем нам кажется более предпочтительным использование коэффициентов а. Разумеется, выбор между аир все-таки остается делом вкуса исследователей; в принципе не исключается использование любого из двух способов описания.
8.7. Формализованное представление показателя
гомеостатической способности
В предыдущих разделах мы ввели понятие количественной оценки гомеостатических свойств системы и показателя гомеостатических свойств системы. Сейчас мы покажем, как эти понятия можно изложить на несколько более формализованном уровне [143].
Пусть при малых возмущениях вектора v, обозначаемых через е, стационарный режим в системе сохраняется, а все компоненты вектора состояния получают приращение A*:
где через Vvx обозначена матрица (8.1) размерности (тХ0:
(8.46)
А* = S7vx • е,
(8.47)
V0x = [(Vax), (Vvx)2 ... (V0*)JT
(8.48)
со строками
[дх. дх, дх, п
~до~dv^ ••• =1, 2’ т' (8-49)
В качестве меры смещения состояния системы А* возьмем взвешенное среднеквадратическое значение А*, обозначенное через ц:
ц2 = (Лх)т А (Дх), (8.50)
где А(тхт) = diag а, — матрица весовых коэффициентов, учитывающая относительный вес переменных состояния, а, ^ 0. Например, если значимость всех переменных состояния одинакова, то все а, равны между собой, а,= 1 /ml.
Определим матрицу чувствительности системы:
S0= V0x)T A (V0x). (8.51)
Тогда
[i2 = eTSve, (8.52)
а взвешенное среднеквадратическое значение а0 коэффициентов
дх,
чувствительности определяется теперь по формуле
a„ = tr (V0x)T A (V0x) = trS0. (8.53)
Тогда показатель гомеостатической способности системы h, определяемый (8.5) или (8,7), запишется в виде компактной формулы
h = (trS*r'/! (8.54)
или, соответственно,
Л = (1 + atrS0)-1. (8.55)
Для линейных систем формулы, описывающие гомеостатические свойства, можно выразить непосредственно через матрицы А и В. Чувствительность переменных состояния тогда определяется формулой (5.68), и можно записать
4vx=-A~lB. (8.56)
Таким образом, значения а не зависят от v; для линейной си-
стемы формулу (8.2) можно переписать в компактном виде, вое-пользовавшись выражением для следа матрицы (5.28):
т I
tr [(- А~1ВУ (- А~‘в)] = Z i a?/, (8.57)
где (Зц — элемент матрицы (—А~1В) с номером (/,/). Следовательно, формулу (8.2) можно (при a,j — 1) записать как
а2 = ^г[(-Л-\в)т(-Л_1в)], (8.58)
и зависимость h (а) выражается теперь через элементы матриц А и В.
Поскольку для линейных систем величина h не зависит от v и постоянна во всем диапазоне изменения и от — оо до + °°> для линейных систем нет смысла вычислять интегральный показатель Я, так как он будет бесконечно большим. Введение Н целесообразно только для нелинейных систем, как это и было отмечено в разд. 8.3.
9.1. Типовые ситуации в гомеостатических системах
В реальных ситуациях функционирование биосистем происходит в условиях непрерывных изменений как вне, так и внутри системы. Если обратиться к схеме на рис. 7.2,6, то можно сказать, что переходные процессы, приводящие к изменению переменных состояния в физиологических системах, возникают в следующих случаях:
— при вариациях условий окружающей среды (воздействие возмущающего входа v),
— при изменении режима функционирования системы (изменение задающего входа — независимых темпов потоков вещества и энергии w),
— при изменениях параметров системы (вариации элементов матриц А или В).
В ответ на эти изменения в биосистеме происходят сдвиги, направленные прежде всего на сохранение стационарного неравновесия, — система адаптируется, приспосабливается к новым условиям существования. Приспособительные процессы при изменении v и w можно назвать адаптацией системы к внешним возмущениям, а при изменении элементов матрицы А — процессами компенсации. Эти термины достаточно хорошо соответствуют общебиологическим представлениям о процессах адаптации и компенсации [2, 58а, 82, 153, 165, 185, 197]. Здесь мы рассмотрим только процессы адаптации в системе — переходные процессы, вызванные действием внешних возмущений. Процессы, вызванные изменением v, мы будем называть адаптацией системы к внешним условиям. Для процессов, происходящих при изменении w, будет использоваться термин перестройка режима функционирования системы.
Адаптация физиологических систем. Адаптацию к изменениям условий среды можно представить себе как переходный процесс в компартментальной модели, в результате которого система переходит в новое стационарное состояние (состояние адатированности). Обычно в физиологии считается, что в состоянии адаптированности, во-первых, сохраняется
