Введение в мембранную технологию - Мулдер М.
Скачать (прямая ссылка):
Явления концентрационной поляризации приводят к увеличению концентрации растворенного компонента у поверхности мембраны. В том случае, если этот компонент полностью задерживается мембраной, в условиях стационарности конвективный поток молекул данного компонента к поверхности мембраны будет равен противоположному по направлению диффузионному потоку в объем раствора, подающегося на мембрану. Следовательно, при 100% задержании молекул растворенного вещества их скорость в пограничном слое будет равна нулю. Уравнение VII-8 можно вывести из баланса масс, как это было показано в разд. VII-2. Из-за повышенной концентрации пограничный слой будет оказывать гидродинамическое сопротивление проникновению молекул растворителя через мембрану. В этих условиях и в отсутствие гелеобразования поток растворителя может быть представлен моделью сопротивления, состоящей из последовательности двух сопротивлений — сопротивления пограничного слоя Иы и сопротивления мембраны Rm• Схема этой модели дана на рис. VII-13.
Поскольку указанные сопротивления работают последовательно, поток растворителя можно описать уравнением
Jv = n{Rт + Rbi) (VII-26)
Это уравнение является основным уравнением модели пограничного слоя [11-13]. Пограничный слой можно рассматривать как концентрированный раствор, проницаемый для молекул растворителя, причем проницаемость такого «застойного» слоя сильно зависит от концентрации и молекулярной массы растворенного компонента. Сопротивление пограничного слоя в случае высокомолекулярных растворенных компонентов (что отвечает ультрафильтрационным процессам) превышает сопротивление пограничного слоя, характерного для процессов мембранной обработки растворов низкомолекулярных веществ (т. е. обратного осмоса). Из-за наличия концентрационного профиля в пограничном слое проницаемость Р становится функцией расстояния от мембраны, т. е. координаты х внутри области между х = 0 и х = 6.
Проницаемость или коэффициент проницаемости входит в феноменологическое уравнение Дарси [14], и при возникновении пограничного слоя движущей силой потока растворителя в его пределах становится градиент осмотического давления. Тогда объемный поток можно записать как [11]:
1 = 7S (уп'27)
Рис. VII-13. Приложение модели сопротивлений для области пограничного слоя.
Интегрирование по всему пограничному слою приводит к выражению
Аж ы
J =
if P(x)~ldx
в котором
Ям
= [ Р(х) Мх Jo
и, следовательно, уравнение VII-28 можно упростить:
Дтгб/
Jv =-
rjRbi
(VII-28)
(VII-29)
(VII-30)
Для определения сопротивления пограничного слоя необходимо измерить проницаемость Р. Для этого можно воспользоваться методами седиментации, поскольку между проницаемостью растворителя через («застойный») слой раствора полимера и седиментацией молекул высокомолекулярных веществ (или молекул, по размеру сопоставимых с молекулами сахарозы) наблюдается корреляция, см. схему на
Рис. VII-14. Корреляция между седиментацией растворенного вещества (а) и процессом транспорта растворителя (б).
рис. VII-14. Согласно данным работы [15], коэффициент проницаемости связан с коэффициентом седиментации по уравнению
<™-31)
где Vi vq — парциальный молярный объем растворителя и растворенного компонента соответственно, с — концентрация растворенного компонента. Коэффициент седиментации s можно определить при ультрацентрифугировании [16] в условиях, когда на частицу или макромолекулу действует центробежное поле. Коэффициентом седиментации называют величину скорости седиментации (dr/dtf), деленной на ускорение центробежного поля (а;2г):
1 dr
s=— — (VII-32)
u)zr dt
Концентрационную зависимость коэффициента седиментации обычно выражают уравнением:
— — —(1 -+* к\с •+* &2С2) s SQ
(VII-33)
Подстановка уравнения VII-31 в уравнение VII-29 приводит к
г6 (1 - v0/vi)c
Rti
/
Jo
TJS
-dx
(VII-34)
Введя концентрационную зависимость коэффициента седиментации s в уравнение VII-34, получим
г6 (1 - v0/vi)
Rbi
•J
Jo
[с -f k\c -f k2c ]dx
(VII-35)
Из уравнения VII-35 видно, что концентрация растворенного компонента в пограничном слое является функцией расстояния х.
Принимая, что растворенный компонент полностью задерживается мембраной, его концентрацию в пограничном слое можно записать в следующем виде:
с(х) = сь exp (-^ (VII-9)
Так как интегирование Р(х)~1 по всему пограничному слою дает
c'l “р (ir) dl = Н (т) -'] = 5(c”-'f) (VII'36)
то, подставляя уравнение VII-9 в уравнение VII-35 и интегрируя по всему пограничному слою, получим:
