Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях - Марри Дж.
Скачать (прямая ссылка):
система тогда имеет вид
и, = м(1 - v) + Duxx, v, = av(u - 1) + Dvxx, (5.89)
где а-положительная постоянная. В краевой задаче заданы нулевой поток на
границе и начальные значения миг:
МО, t) = MU t) = МО, О = Ml, 0 = 0, t 3= 0,
(5.90)
и (x, 0), v(x, 0) даны, 0 ^ x < 1,
где u(x,0), v (x, 0) удовлетворяют первому условию (5.90). Поскольку для
уравнений с D = 0 после интегрирования получается соотношение (4.13)
между миг, целесообразно рассмотреть левую часть этого соотношения как
новую функцию
S = аи + v - 1пияг. (5.91)
Если умножить первое уравнение (5.89) на а(и - 1 )/и, второе на (v - 1
)/v и затем сложить, мы получим
+ ^ 3= 0, (5.92)
где S(x,t) определено в (5.91) через u(x,t) и v(x,t). Согласно (5.90) для
S (х, t) выполняются условия
Sx (0, t) = MU) = 0,
(5.93)
S(х, 0) = аи(х, 0) + v(x, 0) - In u°(x, 0) v(x, 0) = /(x) > 0.
Покажем теперь, что при t -> со обязательно ст2 -> 0, откуда, как будет
показано, следует их -> 0 и vx -" 0, так что и (х, t) иг (х, t) при t -*
-* оо становятся пространственно однородными. Наши рассуждения при этом в
основном эвристические, но их нетрудно сделать математически строгими.
248
Гл. 5. Биологические осцилляторы
Чтобы и (х, 0) и и(х, 0) имели смысл, они должны быть положительны для
всех 0 < х < 1. Тогда для уравнений (5.89) элементарные соображения об
источниках и стоках (u(l - v) и av(u - 1) или принцип максимума для
параболических уравнений (см. Проттер и Вайнбергер
(1967)) показывают, что u(x,t) > 0 и v(x, t) > 0 для всех t > 0 и 0 < х ^
< 1. Если мы определим
М = max S(x,0) < оо,
то, поскольку о2 ^ 0, из принципа максимума, примененного к
параболическому уравнению (5.92) с условиями (5.93), следует, что S < М
для всех (>0и0<х<1, так что и иг всегда ограничены и отграничены от нуля.
Простое вычисление показывает, что для всех и > 0, v > 0 выполняется S
(и, v) ^ а + 1, поэтому
а + 1 < S {и (х, t), v (х, t)) < М
(5.94)
для всех t ^ 0, 0 < х < 1.
Проинтегрируем теперь обе части уравнения (5.92) по х от 0 до 1 и учтем
граничные условия (5.90); это даст
d
dt
S (х, t)dx = D
Sxx (x, t)dx - D
a2 (x, t)dx = - D
G2(x,t)dx, (5.95)
(в левой части мы переставили знаки дифференцирования по t и
интегрирования по х в силу известного правила Лейбница). Если теперь
проинтегрировать обе части равенства (5.95) по t от t = 0,. получим
I 1
J S(x, t)dx = | S(x, 0)dx - D j (j o2(x, т)dx)dx,
о о
(5.96)
т.е.
\ 1 a2 (x, t) dx I dz =
S(x,0)dx
D
S (x, t) dx <
D
S (x, 0) dx.
Отсюда видно, что при t -> оо интеграл в левой части имеет конечный
предел, т.е.
со 1
{ (ja2(x, t)dx) < оо, о о
а это практически равносильно тому, что о2 -> 0 при t -> оо. Значит,
согласно (5.92), их(х, () -> 0 и vx(x, t) -* 0. Таким образом, через
боль-
5.8. Системы реакции с диффузией в конечных областях
249
шой промежуток времени эти решения пространственно однородны; иными
словами, система Лотки - Вольтерры с равными коэффициентами диффузии не
может порождать пространственные структуры в конечной области с нулевым
потоком на ее границе. Эти результаты применимы к пространству более чем
одного измерения и могут быть распространены на систему п видов и форму
Ферхюльста роста популяции (т.е. форму, включающую в себя максимальный
размер популяции).
Рассмотрим теперь более общую задачу, связанную с системами реакций с
диффузией вида
u, = f(u) + DV2 u, (5.97)
где У2-оператор Лапласа, u(r, f)"вектор концентраций п компонент, f(u)-
нелинейные члены, описывающие реакции, г-радиус-вектор, a D-матрица
коэффициентов диффузии компонент. Если перекрестная диффузия отсутствует,
то D- просто диагональная матрица с элементами dj, i - 1,2,..., п, где df
коэффициент диффузии компонента и,: вообще говоря, все df различны. Нас
будут особенно интересовать замкнутые ограниченные области с нулевым
потоком через границу. Для уравнения (5.97) зададим начальные и граничные
условия
и (г, 0) = u0(r), (n-V)u = 0 на дБ, (5.98)
где ГВ-граница конечной области В, п-единичная внешняя нормаль к дВ
(поэтому последнее условие соответствует нулевому потоку), а и о (г)-
начальное распределение компонент. В последующем мы будем предполагать,
что f(u) такое, что система (5.97), (5.98) обладает решением,
ограниченным для всех t ^ 0; это предположение разумно для реалистически
выбранной кинетики реакций f(u). Оно заведомо выполняется, в частности,
если можно показать, что в пространстве и существует охватывающая все
значения и0 (г) конечная замкнутая выпуклая поверхность, на которой
вектор и, указывает вовнутрь (сравните с условием глобальной устойчивости
(4.21)); мы воспользуемся этим в разд. 5.9.
Если f(u) = 0 и перекрестная диффузия отсутствует, то система (5.97)
является обычным линейным уравнением диффузии для каждой компоненты и при
условиях (5.98) любое неоднородное начальное распределе-ние и0 (г) просто
сглаживается, в пределе до однородного. Когда f(u) ф 0, эвристически
естественно ожидать того же результата, если коэффициенты диффузии
