Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Марри Дж. -> "Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях" -> 90

Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях - Марри Дж.

Марри Дж. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях — М.: Мир, 1983. — 396 c.
Скачать (прямая ссылка): nelineyniediferincialnieurovni1983.djvu
Предыдущая << 1 .. 84 85 86 87 88 89 < 90 > 91 92 93 94 95 96 .. 154 >> Следующая

теперь (5.48) к безразмерному виду с помощью замены переменных
2 К^Х K2Y
v =
К3А ' К3Аг'
х' = (K3A/D)42x, t' = K3At, (5.49)
2 К.К. К, К2
L = 5-Ц М = -, Ъ = 2
К,К3 К3 2 К,
где г-просто параметр, который можно менять. Специальная форма замены
(5.49) дает возможность рассматривать в качестве практически интересных
те решения, для которых
О < и < 1, 0 < V ^ 1. (5.50)
Введение параметра г отражает тот факт, что концентрация иона бро-
5.5. Модель бегущей волны для реакции Белоусова-Жаботинского 229
мида далеко впереди волнового фронта может меняться. Мы можем, конечно,
просто положить г = 1, но тогда верхнее предельное значение для v в
(5.50) будет меняться как граничное условие; проще сделать систему более
гибкой, включив параметр в уравнения. В переменных (5.49) система
уравнений (5.48) принимает вид
дм 82и
- = Lrv + м(1 - м - гг) + ~^Т,
dv d2v
= - Mv - buv +
dt' dx
Если взять Ах 6 ¦ 10 "2 моль/л из (4.74), К1,...,КА из табл. 4.2 разд.
4.5 и типичный экспериментальный диапазон г от 10 до 50, то в
(5.49) будет
г = 0(10), L х 8.4-10-6, Мх 2.1-ИГ4, Ъх 2.510. (5.51)
Поскольку и и t)'имеют порядок 0(1), мы можем в дифференциальных
уравнениях в качестве первого приближения пренебречь членами Lrv и Mv,
так как они оба много меньше единицы. Для удобства опустим также штрихи
при х' и t'. Тогда модель, предлагаемая для описания бегущих волновых
фронтов в реакции Белоусова-Жаботинского, будет представлять собой
систему
ди . д и .
-- - и(1 - и - rv) + -т~т, (5.52)
dt дх2
dv d v
= - buv + --2~" (5-53)
dt dx
где г и Ь- положительные параметры и0$и<1,0<г^1. Мы ищем волновые
решения, удовлетворяющие граничным условиям
и(- оо, t) = г(оо, t)1 О,
(5.54)
м(оо, t) = v{- оо, i) = 1.
Уравнения (5.52) и (5.53) инвариантны относительно замены х -* - х, так
что 0 и 1 в (5.54) можно поменять местами. На основании условий
(5.54) можно ожидать появления волны, движущейся влево, и это
соответствует эксперименту, так как концентрация бромида (У) высока
впереди волны; для v это означает v = 1.
Следует отметить здесь, что волновые решения системы (5.52), (5.53), как
и в случае уравнения Фишера, являются в основном кинематическими волнами.
Диффузия вновь оказывает стабилизирующее, точнее говоря, ограничивающее
влияние, результатом которого являются, по крайней мере с вычислительной
точки зрения, определенные устойчивые волновые решения с волновыми
скоростями, однозначно определенны-
230
Гл. 5. Биологические осцилляторы
ми параметрами задачи. Такие решения не зависят от начальных условий,
если они типа (5.17) для и и аналогичные для v.
В приложении 5, разд. А5.1, стандартными методами показано, что система
(5.52), (5.53) с соответствующими начальными условиями имеет единственное
ограниченное решение. Следует подчеркнуть здесь, что даже если решение
существует, то,- как мы увидим ниже для системы уравнений (5.52), (5.53),
относящейся к общему классу, обсуждаемому в приложении 5, разд. А5.1, это
не дает никакой информации относительно существования и устойчивости (в
математическом смысле) какого-либо решения типа бегущей волны.
Рассмотрим теперь возможность появления решений типа бегущей волны у
системы (5.52), (5.53), удовлетворяющих условиям (5.54) при
X -* +00.
В специальном случае, когда u = 1 - с и (i = 1 - г, где г < 1, оба
уравнения, (5.52) и (5.53), сводятся к уравнению Фишера (5.12) с D - 1, к
= Ь. Тем самым имеются решения типа бегущей волны со скоростями с ^ cmin
= 2j/l - г = 2J/Ь, г < 1. Если, однако, и(х, 0) типа (5.17), то скорость
волны при г -> оо равна с = cmin = 2J/1 - г = 2yb, г < 1. Такое волновое
решение, как мы видели в разд. 5.4, устойчиво только относительно
возмущений, которые отличны от нуля в конечной области. Поэтому можно
ожидать, что численно найденное {Решение будет устойчиво, и это
соответствует действительности.
Покажем теперь, что любое волновое решение, для которого и ^ 0 и v ^ 0,
развивающееся при росте t из начальных условий типа (5.17), должно иметь
волновую скорость c(r,b) s? 2 для всех b ^ 0 и г > 0. Для этого введем
функцию й (х, г), удовлетворяющую условиям
м( = й(1 - й) + йхх, й(х, 0) = h(x),
(5.55)
м(- оо) = 0, и (со, 1) = 1,
где h(x) - и (х, 0) принадлежит к классу функций (5.17). Решение
уравнения (5.55) эволюционирует в бегущую волну со скоростью 2. Напишем
теперь
w(x,t) = u(x,t) - й(х, t). (5.56)
Вычитая (5.55) из уравнения (5.52), с помощью (5.56) получаем
wxx - w, + [1 - (й + m)]w = ruv. (5.57)
Хотя ruv ^ 0, мы не можем сразу воспользоваться принципом максиму-
ма для параболических уравнений (см., например, книгу Проттера и
Вайнбергера (1967) по параболическим уравнениям): для этого нужно, чтобы
коэффициент при w был отрицательным. Однако, если мы положим W = we~ ,
где К> 0 есть постоянная, (5.57) принимает вид
w*x ~ Щ + [1 - (и + й) - К} W = ruve~ Kl 2 0.
5.6. Решения типа бегущего фронта волны
231
Выберем теперь К > 1; тогда 1-(и + н)-К<0, ик уравнению для W можно
Предыдущая << 1 .. 84 85 86 87 88 89 < 90 > 91 92 93 94 95 96 .. 154 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed