Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях - Марри Дж.
Скачать (прямая ссылка):
и = х - х0, v = y- у0, w=z
Подставляя в (4.97) и оставляя только линейные члены около R = 0,
получаем
R' = MR, М =
\
- а
1
0
0
р
1
1
(1 + z0)2 0
-у
А
Собственные значения матрицы М удовлетворяют уравнению
\м - М| = 0 ==> X3 + (а + Р + у)Х2 + (ар + Ру + уа)^. + аРу +
1
+
(1 + z0)2
= 0, (4.101)
которое имеет три решения: Хц Х2 и Х3. Так как все коэффициенты в (4.101)
положительны, то действительных положительных собственных значений не
может быть. Чтобы R = 0 было неустойчиво в линейном приближении, по
крайней мере одно из значений Х2, Хг должно иметь положительную
действительную часть, т.е. должно нарушаться одно из следующих
необходимых и достаточных условий Рауса - Гурви-ца для отрицательности
действительной части у всех корней Х(:
а + Р + у > 0, аРу +
1
т > °. (1 + z0)2
(а + Р + у) (ар + Ру + уа) - аРу -
1
(1 + z0)
(4.102)
> 0.
4.8. Системы управления синтезом фермента более высокого порядка 179
Поскольку а, Р, у и z0 все положительны, единственная возможность-это
нарушение последнего неравенства в (4.102). С помощью уравнения (4.100)
для z0 это неравенство упрощается и сводится к утверждению
а2(р + у) + Р2(а + у) + у2 (а + р) + ару(1 + aPyz0) > 0, которое
выполняется всегда. Таким образом, R = 0, или г = г 0 устойчивое
стационарное состояние, и, следовательно, у модельной системы (4.92)-
(4.94) не может быть периодических решений типа предельного цикла1*. В
следующем разделе мы опишем модификации этой модели, дающие периодические
решения.
4.8. Системы управления синтезом фермента более высокого
порядка, модели с запаздыванием и некоторые общие результаты
Поскольку наша последняя модельная система управления синтезом фермента
не обладала требуемым колебательным поведением, то, следуя общей схеме
моделирования, мы должны вновь исследовать модель разд. 4.7; если
возможно, необходимо реалистично ее модифицировать, вновь
проанализировать и, наконец, найти ей биологическую интерпретацию.
Одна из возможных модификаций заключается в допущении, что нужна более
чем одна молекула репрессора (Z) для инактивации регуляторного гена G,
как предположил Гриффит (1968). Слагаемое b/( 1 + aZ) в (4.92),
описывающее скорость образования мРНК (X), соответствует предположению
(опирающемуся на экспериментальные данные), что одна молекула метаболита-
репрессора (Z) соединяется с одним геном для получения его неактивной
формы. Если для этого необходимы т молекул репрессора, то анализ,
аналогичный проведенному в предыдущем разделе, приводит нас к
кинетическому уравнению для концентрации фермента (X)
b
х = 1 zzr - сХ (4.103)
1 + aZT
взамен (4.92). Число т называется коэффициентом Хилла. Безразмерная
система, заменяющая теперь (4.97), имеет вид
1
t - Е (i; Р' у* т) =
1 + zm х - ру
(4.104)
У ~ yz /
Глобальная устойчивость вновь имеет место, но теперь единственное
11 См. примечание на с. 164-Прим. ред.
180
Гл. 4. Биологические осцилляторы I. Однородные колебания
положительное стационарное состояние г0 определяется соотношениями
гп =
= РУо. Уо = У2о>
(4.105)
m + 1 i _
z0 > О
офу
= о.
где z0 -единственное положительное решение последнего уравнения.
Собственные значения линеаризованной задачи удовлетворяют (вместо
(4.101)) уравнению
X3 + (а + Р + у)Х2 + (аР + Ру + уа)^ + аРу [1 + т(1 - apyz0)] = 0.
Поскольку 1 + т (1 - аруг0) > 0, положительные действительные корни вновь
отсутствуют. Условие Рауса - Гурвица, которое должно быть нарушено для
существования комплексного собственного значения с положительной
действительной частью,-это (ср. с третьим условием
(4.102))
(а 4- Р + у)(ар + Ру + уа) - аРу[1 + т( 1 - aPyz0)] > 0, (4.106)
где z0-положительный корень уравнения (4.105). Так как a, р и у
положительны, применяя соотношение между средним арифметическим и средним
геометрическим, мы имеем общее неравенство
Т
(a + Р + у) 5*
1
(ар + ру + уа)
1/2
> (аРу)
1/3
так что
(а + р + у)(ар + ру + уа) ^ )/з(аР + Ру + уа)3/2 > 9аРу,
и из (4.106) следует
8аРу - aPym(l - apyz0) = аРу(8 - т) + ma2p2y2z0 > 0.
Итак, мы получили результат Гриффита (1968), а именно что по крайней мере
для т > 8 всегда существуют положительные (бифуркационные) значения a, Р
и у, такие, что нарушается последнее неравенство, и стационарное
состояние г0 из (4.105) становится неустойчивым Ч Так как собственные
значения X служат решениями кубического уравнения, "неустойчивые"
собственные значения и л2 должны быть комплексно сопряженными: л12 = ц ±
ю, где цист положительны. Таким
1} Хотя z0 зависит от аРу, но при афу -> 0 будет z0 ~ (ару) 1/<п, + 1) и
т.д -Прим. ред.
4.8. Системы управления синтезом фермента более высокого порядка 181
образом, точка г0 неустойчива по типу колебаний возрастающей амплитуды.
Из теоремы Хопфа о бифуркации (приложение 4) следует, что по крайней мере
в окрестности бифуркационных значений ос, Р и у существуют предельные
циклы малой амплитуды, делающие г0 неустойчивым; речь идет о значениях,
для которых р = 0, так что есть два чисто мнимых собственных значения.
