Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях - Марри Дж.
Скачать (прямая ссылка):
широко встречающихся в практике,-это реакция, в которой субстрат
необратимо превращается в продукт одним ферментом. Изложенная ниже теория
такой реакции известна как теория Михаэли-
са-Ментен (1913). Придерживаясь, по сути, варианта Бриггса и Холдей-
на (1925), мы фактически отчасти следуем более строгому математически
описанию Хайнекена, Цучия и Ариса (1967)2).
Михаэлис и Ментен (1913) основывали свой анализ на предположении, что
свободные фермент и субстрат сначала образуют в ходе обратимой реакции
фермент-субстратный комплекс, который в свою очередь необратимо
распадается, образуя вновь свободный фермент и продукт. Эта реакция может
быть схематически представлена в виде двух стадий
fcl
S + Е ^ SE, (1.1)
кг
SE -> Р + Е, (1.2)
11 На русском языке имеются также книги В. А. Яковлева (1966)*, И. В.
Березина и С. Д. Варфоломеева (1979)*, Уэбба (1966)*, Уолтера (1969)*,
Брюса и Бенковича (1970)*, Дженкса (1972)*, Корниш-Боудеиа (1919)*.-Прим.
перев.
2) См. также Корниш-Боуден (1979)*.-Прим. перев.
1.2. Теория Михаэ лиса -Ментен
13
или более просто:
fc| к2
S + E^±SE -" Р + Е, (1.3)
fc-1
где S, Е, SE и Р обозначают соответственно субстрат, фермент, фермент-су
бстратный комплекс и продукт; смысл констант скорости /с, и /с.,! будет
указан ниже. Теоретически все реакции могут идти и в прямом, и в обратном
направлении, как в (1.1). Однако во многих случаях обратная реакция может
быть настолько мала, что ею можно пренебречь, и тогда мы говорим, что
реакция необратима и, как в (1.2). Систему реакций, представленную
формулами (1.1), (1.2), иногда называют стехиометрическими уравнениями
или просто механизмом реакции. Эти формулы показывают баланс состава
молекул реагентов, участвующих в реакции. Например, в (1.1) одна молекула
S соединяется с одной молекулой Е, образуя одну молекулу комплекса SE.
Фундаментальный закон, выражающий скорость, с которой происходит реакция,
в терминах реагирующих веществ,-это закон действующих масс, который
гласит, что скорость реакции пропорциональна .активным концентрациям
реагентов. Под активным понимается только такое количество реагентов,
которое фактически участвует в реакции. Это уточнение может быть важным,
поскольку, например, некоторые ферменты могут существовать как в
активной, так и в неактивной форме. Чтобы проиллюстрировать этот закон,
рассмотрим необратимую реакцию вида
А + В -> С. (1.4)
Если мы обозначим концентрацию реагента квадратными скобками, то закон
действующих масс утверждает, например, что
~ [А] [В] = -*[А] [В],
где t означает время, а к > 0 называется константой скорости реакции
к
(1.4) и обычно ставится в уравнении реакции над стрелкой: Размер-
ность величины к определяется формой реакции. Для реакции (1.4) к имеет
размерность (концентрация)-1 (время)-1. Из закона действую-
1} По-видимому, наиболее простой пример, иллюстрирующий это утверждение,-
когда водород Н2 и кислород 02 соединяются, образуя воду согласно реакции
2Н2 + 02 2Н20. Обратная реакция возможна, однако ее скорость пре-
небрежимо мала, пока температура не составляет около 1500°С. Поэтому при
обычных температурах и давлениях мы говорим, что рассматриваемая реакция
необратима, и пишем 2Н2 + 02 -* 2Н20.
14
Гл. 1. Ферментативная кинетика
щих масс следует также, что
(1.5)
поскольку скорость реакции может измеряться скоростью изменения
концентрации любой из участвующих компонент1'. Фактически имеется столько
же уравнений, сколько реагентов; уравнения, конечно, не все независимы.
Если реакция обратима и константы скорости прямой и обратной реакций
равны соответственно и к_lt то
Эта реакция и обозначения имеют тот же тип, что в (1.1).
Тот факт, что в (1.4) одна молекула А соединяется с одной молекулой В для
образования С, объясняет, почему эта реакция называется бимолекулярной;
такие реакции, пожалуй, наиболее распространенные. Простейший обратимый
механизм А ^ В мономолекулярен, тогда как, например, 2А + В ^ С-это
тримолекулярная реакция, которая происходит крайне редко, и т.п. Для этих
реакций из закона действующих масс следует, в частности2',
Ясно, как закон действующих масс можно применять и к реакциям более
общего вида.
Отметим, что для этих реакций могут быть просто получены некоторые законы
сохранения. Например, для реакции (1.6) мы имеем также
11 Существенно, что концентрация измеряется в молях (не граммах!) на
единицу объема-Прим. ред.
2) Иногда числовые коэффициенты, стоящие перед константами скорости,
включаются в определения fc, и k_ t. Следует, однако, проявлять
осторожность при написании других уравнений для скоростей реакций.
Например, при первоначальном определении к1 и к_t получаем
kl d ГА1
А + В- С:--- = - к, [А] [В] + [С].
(1.6)
kl d ГА!
2А + В - 2кх [А]2 [В] + 2к_1 [С].
if _, dt
fc-i
^1=/с1[А][В]-/с_1[С],
1.2. Теория Михаэлиса-Ментен
15
что после почленного сложения с уравнением (1.6) дает
-Г" + Щ =0 ^ [А] + [С] = const. (1.7)
dt dt l j l j
Это означает, что сумма концентраций А и С сохраняется во
