Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях - Марри Дж.
Скачать (прямая ссылка):
носит простой качественный характер: они понижают скорость жидкости между
ними (одновременно повышая сопротивление течению), и, следовательно,
молекулам требуется большее время для диффузии на сенсиллы. Н. А. Фукс и
И. Б. Стечкина (1963) рассмотрели эту задачу, используя фактически анализ
такого же типа как и выше, но с приближенным полем течения,
соответствующим потоку сквозь случайно расположенную систему параллельных
круговых цилиндров
3.8. Применение к антенному фильтру
119
с малой плотностью упаковки. Здесь плотность упаковки-это доля единичной
площади, занятая поперечным сечением цилиндров, находящихся в этой
площади. Можно использовать и такую альтернативную, достаточно
распространенную характеристику, как пористость е, которая легче
поддается измерению. Тогда 1 - е определяется как доля единичного объема,
занятая волосками. Н.А. Фукс и И. Б. Стечкина (1963) приводят вместо
выражения, эквивалентного (3.87), соотношение
справедливое для Ре ^ 10 и е ^ 0.65. (Заметим, что число Рейнольдса здесь
не фигурирует; подразумевается, однако, что оно меньше единицы.) Отсюда
мы видим, например, что для пористости 0.83 собирательная эффективность
отдельного волоска в системе волосков, согласно (3.89), приблизительно в
два раза превышает собирательную эффективность изолированного волоска,
вычисленную на основании
(3.87) с числом Рейнольдса, равным 0.13 (как предполагалось в разд. 3.5).
Таким образом, эффективность единичной сенсиллы, описываемая формулами
(3.60) и (3.87), должна быть модифицирована с учетом влияния соседних
волосков. Сделать это с достаточной точностью, однако, не так легко, так
как мы не знаем пористости в окрестности ветвей антенны.
Общая площадь волосков составляет около 18% общей площади антенны
(Шнайдер (1974)). Однако на каждой ветви антенны сенсиллы расположены с
интервалом лишь в несколько диаметров волоска. Таким образом, пористость
сенсилл на ветвях существенно меньше, чем можно было бы судить только по
тому факту, что волоски занимают около 18% площади поверхности проекции
антенны. Как указывалось выше, при пористости 0.83 эффективность при
больших числах Пекле (например, больших чем 10) почти удваивается, так
что имеет смысл предположить, что при той пористости, которая должна
иметь место для сенсилл на антенне, например порядка 0.7, коэффициент
увеличения эффективности, вызванный пористостью, может достигать 3-4;
возможно, что это предположение даже слишком осторожное.
Рассмотрим теперь ширину полосы воздуха, очищенную от молекул единичным
волоском, по сравнению с шириной такой полосы в свободном потоке, равной
диаметру волоска 2а, т.е. сравним FL в (3.61) или
(3.88) с v0c02aL. Отношение этих величин является, по определению,
эффективностью Г волоска как фильтра. В точности такой же форме это
понятие было использовано Кейслингом (1971) и названо им коэффициентом
адсорбции. Эти отношения Г = F, /2aLv0c0 для (3.61) и (3.88)
0.581
F =
Ре2/3 - у In (1 - е) - 0.5
1/3 '
(3.89)
120
Гл. 3. Понижение размерности в диффузионных процессах
соответственно суть
я
(3.90)
Г =
Ре < 1,
и
Г =
0.581л
Ре " 1.
(3.91)
Для Ре = 0.4 (как в разд. 3.5) из (3.90) следует
Г х 4.6 при 5=1; Г х 2.5 при v = 1/4,
в то время как для Re = 0.13 (как в разд. 3.5) 1/2 - у + In (8/Re) =
4.04, и из (3.91) следует
В случае Ре < 1 собирательная эффективность, измеряемая значением Г из
формулы (3.90), показывает, что от молекул очищена площадь, в 2.5-4.5
раза превышающая площадь, ограниченную контуром волоска. В этом случае
влияние соседних волосков заключается в том, что антенна в целом более
или менее эффективно очищает всю площадь, ограниченную ее контуром. С
другой стороны, в случае Ре " 1 собирательная эффективность
индивидуального волоска как фильтра меньше: он очищает только около 1/4
площади профиля волоска. Однако в этой ситуации соседние сенсиллы играют
важную роль в повышении фильтрующей способности индивидуальной сенсиллы с
коэффициентом порядка 3-4, что было обоснованно предположено выше для
плотности упаковки или пористости, реальной для антенн. Таким образом, и
в этом случае можно считать, что антенна очищает воздух на почти всей
площади своего профиля. Тем самым мы приходим к выводу, что с точки
зрения фильтрации антенны более или менее очищают весь воздух, проходящий
через площадь их профиля, от молекул бомбикола. Этот вывод, который мы
проверим ниже, справедлив для довольно широкого диапазона коэффициентов
диффузии, например от- 10"2 до 10"3 см2/с, или, что более существенно,
для довольно широкого диапазона чисел Пекле, по крайней мере для
диапазона 0(Ю-1) < Ре ^ 0(10).
На бабочку могут оказать воздействие только те молекулы бомбикола,
которые осаждаются на самой сенсилле; мы не ожидаем, что понижение
размерности диффузии играет какую-либо роль для ветвей. В самом деле,
рассмотрим улавливание молекул волосками по сравнению с ветвями антенны.
Поскольку число Пекле Ре = v0a/D и в (3.60) поток F пропорционален Ре-1,
